Esercizi Analisi 1
Ragazzi vi propongo una serie (stabilirne il carattere) ed un limite, datemi una mano 
:
- $\sum_{n=2}^(+oo)(1/(ln(n)*ln(n!)))$
- $\lim_{x \to \0}(((1+x)^(1/x)-e^(cos(x^(1/2))))/x^2)$
Grazie
:- $\sum_{n=2}^(+oo)(1/(ln(n)*ln(n!)))$
- $\lim_{x \to \0}(((1+x)^(1/x)-e^(cos(x^(1/2))))/x^2)$
Grazie
Risposte
Qualche tua idea?
Bellina la serie, comunque come ha detto Bremen000, dovresti postare un tuo tentativo di soluzione.
Ciao ragazzi, non li ho postati perchè i miei si sono rivelati fallimentari, per quanto riguarda limite credo che la soluzione sia in taylor ma non riesco a trovare il modo di applicarlo, la serie invece non so proprio come metterci mano.
Ci dici quali limiti conosci che coinvolgono il fattoriale?
"otta96":
Ci dici quali limiti conosci che coinvolgono il fattoriale?
Conosco quelli semplici che coinvolgono la "gerarchia" degli infiniti, conosco i limiti $(n!)^(1/n)$, $(n!)^(1/n)/n$ , forse qualche altro limite notevole, ora sinceramente non me ne vengono in mente. perchè? io stavo provando ,nella serie, a trovarne una più piccola e avevo sostituito a n!, e^n , così da ottenere 1/(ln(n)*n), solo che non riuscivo a fare l'ultimo passo, in testa a me, quello di dimostrare che esiste un eps positivo e diverso da 0 tale che n^(1+eps), che è convergente, fosse minore di n*ln(n)... però credo sia una strada sbagliata..
L'ultimo limite che hai detto è proprio quello giusto per risolvere l'esercizio, cerca di ricondurti a quello.
"otta96":
L'ultimo limite che hai detto è proprio quello giusto per risolvere l'esercizio, cerca di ricondurti a quello.
ciao Otta, scusa se ti rispondo solo oggi, sono stato un po' incasinato, sinceramente nonostante il tuo consiglio non riesco a trovare una soluzione a questa serie...
Allora ti do un aiuto un po' più concreto: sarai d'accordo con me immagino (altrimenti chiedi!) che i limiti che mi hai detto di conoscere sul fattoriale danno informazione su come il fattoriale vada a $+\infty$ e che le informazioni sono ordinate in modo crescente (nel senso che prendendo come ipotesi un limite si dimostrano banalmente tutti quelli prima), allora cerchiamo di sfruttare la maggiore informazione possibile, ovvero l'ultimo limite.
Cominciamo: considero $ln(n!)=nln(root(n)(n!))=nln(nroot(n)(n!)/n)=n(ln(root(n)(n!)/n)+lnn)=nlnn+nln(root(n)(n!)/n)$, ora dato che sai che $\lim_{n->+\infty} root(n)(n!)/n=1/e$, puoi concludere che $ln(n!)=nlnn-n+o(n)=nlnn+o(nlnn)$, allora la convergenza della tua serie è equivalente a quella di termine $n$-esimo $1/(n(lnn)^2)$, che dovresti sapere se converge o no.
P.S. Ho saltato diversi passaggi, così ti rimane ancora qualcosa da fare, ovvero completarli, ma sono cose che con un pizzico di buona volontà dovresti riuscire a fare senza problemi; ad ogni modo se DOPO AVERCI PROVATO, qualche passaggio ti rimane oscuro, chiedi pure chiarimenti.
Cominciamo: considero $ln(n!)=nln(root(n)(n!))=nln(nroot(n)(n!)/n)=n(ln(root(n)(n!)/n)+lnn)=nlnn+nln(root(n)(n!)/n)$, ora dato che sai che $\lim_{n->+\infty} root(n)(n!)/n=1/e$, puoi concludere che $ln(n!)=nlnn-n+o(n)=nlnn+o(nlnn)$, allora la convergenza della tua serie è equivalente a quella di termine $n$-esimo $1/(n(lnn)^2)$, che dovresti sapere se converge o no.
P.S. Ho saltato diversi passaggi, così ti rimane ancora qualcosa da fare, ovvero completarli, ma sono cose che con un pizzico di buona volontà dovresti riuscire a fare senza problemi; ad ogni modo se DOPO AVERCI PROVATO, qualche passaggio ti rimane oscuro, chiedi pure chiarimenti.
"otta96":
Allora ti do un aiuto un po' più concreto: sarai d'accordo con me immagino (altrimenti chiedi!) che i limiti che mi hai detto di conoscere sul fattoriale danno informazione su come il fattoriale vada a $+\infty$ e che le informazioni sono ordinate in modo crescente (nel senso che prendendo come ipotesi un limite si dimostrano banalmente tutti quelli prima), allora cerchiamo di sfruttare la maggiore informazione possibile, ovvero l'ultimo limite.
Cominciamo: considero $ln(n!)=nln(root(n)(n!))=nln(nroot(n)(n!)/n)=n(ln(root(n)(n!)/n)+lnn)=nlnn+nln(root(n)(n!)/n)$, ora dato che sai che $\lim_{n->+\infty} root(n)(n!)/n=1/e$, puoi concludere che $ln(n!)=nlnn-n+o(n)=nlnn+o(nlnn)$, allora la convergenza della tua serie è equivalente a quella di termine $n$-esimo $1/(n(lnn)^2)$, che dovresti sapere se converge o no.
P.S. Ho saltato diversi passaggi, così ti rimane ancora qualcosa da fare, ovvero completarli, ma sono cose che con un pizzico di buona volontà dovresti riuscire a fare senza problemi; ad ogni modo se DOPO AVERCI PROVATO, qualche passaggio ti rimane oscuro, chiedi pure chiarimenti.
Ok tutto chiaro
, ho capito i passaggi, l'unica cosa, mi dici di vedere se il termine "$n$-esimo $1/(n(lnn)^2)$" converge, e lo fa senza dubbio, ma questo per il criterio di convergenza di cauchy? Se si, quindi è necessario dimostrarne la convergenza come serie di quel termine giusto? (ci sono riuscito comunque, vorrei saperlo giusto per chiarirmi le idee)ùGrazie mille comunque
Se intendi il criterio di condensazione di Cauchy, allora si, sennò a mio avviso è più facile farlo col criterio integrale.
"otta96":
Se intendi il criterio di condensazione di Cauchy, allora si, sennò a mio avviso è più facile farlo col criterio integrale.
io l'ho fatto con l'integrale, quello che dicevo "basta verificare che il termine ennesimo converge come serie perchè ,dato il criterio di cauchy per le serie, dopo un determinato indice l'argomento (iniziale) converge (se così si può dire) al termine ennesimo" giusto?
Non mi è ben chiaro cosa stai dicendo, che il termine $n$-esimo converga (a $0$) è ovvio, ma questa è sono una condizione necessaria, non anche sufficiente.
"otta96":
Non mi è ben chiaro cosa stai dicendo, che il termine $n$-esimo converga (a $0$) è ovvio, ma questa è sono una condizione necessaria, non anche sufficiente.
sisi, questo lo so, proprio perchè non è sufficiente chiedevo come mai bastasse dimostrare la convergenza a 0 del termine ennesimo e pensavo che la risposta fosse nel criterio di cauchy "la condizione necessaria e sufficiente affinchè una serie sia convergente è che per ogni epsilon>0 esista un v>0 tale che:
$|\sum_{k=(n+1)}^(n+p) a_k|
è giusto?
Ma infatti non basta dimostrare la convergenza a $0$ del termine $n$-esimo, quella serie bisogna dimostrare che converge in uno dei soliti metodi, il criterio di Cauchy in teoria deve funzionare, ma io non mi sognerei mai di mettermi ad utilizzare quello, ti stavo suggerendo l'uso del criterio del confronto integrale, che qui mi sembra calzi a pennello.
"otta96":
allora la convergenza della tua serie è equivalente a quella di termine $n$-esimo $1/(n(lnn)^2)$, che dovresti sapere se converge o no.
sisi, ma l'ho fatta col criterio dell'integrale (basta sostituire ln(x)=t e via), io stavo cercando di dare una spiegazione a questo che hai scritto qui sopra, perchè sono equivalenti? è un'approssimazione valida per n->oo?
La frase che ho scritto discende dal criterio del confronto asintotico e dai calcoli che avevo fatto prima, comunque non stavo dicendo che devi guardare la convergenza del termine $n$-esimo, ma della serie di termine $n$-esimo quello là.
Ok, ho capito, ero andato un po' in confusione, grazie mille per il tempo perso, qui e sulle altre domande a cui mi hai risposto, se ti va possiamo dedicarci al limite, ma capisco benissimo se non hai voglia di fare altro.
Quello è un tipico limite in cui bisogna sviluppare con Taylor, fai qualche tentativo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo