Esercizi .... a premi

[Sk_Anonymous]

1)Calcolare il seguente integrale definito:
dx/(2-x+(4-x)) in [-1,1]
R.=/6
2)Scrivere l'equazione dell'iperbole
equilatera avente per asintoto la retta
2x-y+1=0 e tangente al cerchio x+y-4=0
nel punto (0,2).
R.4x+6xy-4y-12x+11y-6=0
Premi previsti per esercizi risolti:
A)2/2---> una....mia foto con dedica
B)1/2--->una mia foto ... e basta
C)0/2--->una mia e-mail...con un dannatissimo virus
Non e' ammesso l'uso di software matematico.
Non ci tenete ad una mia foto? Provateci lo stesso.
karl.

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda l'integrale.

La primitiva è :

F(x) = (1/2)*arcsen(x/2)+ln(sqrt((1/2)+(1/4)*sqrt(4-x)))+c

Procedimento :

1) sostituzione x=2*sen(t)

2) sostituzione

sen(t)=2*tan(t/2)/(1+tan(t/2))
cos(t)=(1-tan(t/2))/(1+tan(t/2))

Il resto è banale.

S.E.e.O.

Bye.

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda l'iperbole il procedimento potrebbe essere :

1) fare una rototraslazione degli assi in modo che il nuovo asse x' coincida con l'asintoto. L'angolo della rotazione è /3. Il centro del nuovo sistema di assi sia rispetto al vecchio (b1,b2)

2) l'equazione dell'iperbole nel nuovo sistema è x'y'=k

3) le incognite del problema sono quindi : b1,b2,k

4) trasformare il punto P(0,2) nelle nuove coordinate

5) trovare la derivata dell'iperbole nelle nuove ccordinate in P

6) trasformare la retta y=2 nelle nuove coordinate così abbiamo la condizione di tangenza fra la retta e l'iperbole (non usare la circonferenza !)

7) si ottiene così un sistema di 3 eq. in 3 incognite abbastanza semplice.

S.E.e.O.

ps. però, non ho fatto i calcoli finali per risolvere il sistema ... chiedo venia ... però ho fatto il grafico prendendo il risultato dato da karl



Modificato da - arriama il 21/05/2004 12:40:21

[Sk_Anonymous]

Le soluzioni di Arriama mi sembrano ben
articolate.Giusto per ampliare il discorso
accenno alle mie :
1)ho adoperato la sostituzione
(4-x)=(2-x)*t
che porta ad un integrale razionale,come
del resto risulta anche ad Arriama
2)La tangente alla circonferenza in A(0,2,1)
(la terza coordinata e' quella omogenea)
e' y-2=0 ed il punto improprio dell'asintoto e'
B(1,2,0)(sempre in coordinate omogenee).L'iperbole cercata
appartiene al fascio di coniche individuate dalle due
coniche (degeneri) formate cosi':
prima conica=retta AB contata 2 volte, di equazione
(2x-y+2)=0
seconda conica=tangente in A+asintoto, di equazione:
(y-2)(2x-y+1)=0
Il fascio e' dunque:
(y-2)(2x-y+1)+k(2x-y+2)=0
Imponendo che i coefficienti di x e y siano opposti
( e' la condizione perche' l'iperbole richiesta sia equilatera)
risulta: k=1/5 che sostituito nel fascio porta alla soluzione voluta.
Saluti da karl.