Esercizi
Data la funzione:
$f(x)={(lg((x-1)/(x-3)),x<1),(2x^2+3,x>=1):}$
dire,giustificando i risultati,se è continua e se è derivabile nel suo insieme di definizione.Trovare estremo superiore ed inferiore e dire se coincidono col massimo e minimo della funzione.
Risolvere per decomposizione i sguenti integrali:
1) $int1/(sqrt(x+a)+sqrt(x+b))dx$
2) $int(a+broot3logx)/xdx$
3) $int(x-8)/(root3x-2)dx$
4) $inte^x(e^x-1)/(e^x+1)dx$
5) $int1/(senxcosx)dx$.
$f(x)={(lg((x-1)/(x-3)),x<1),(2x^2+3,x>=1):}$
dire,giustificando i risultati,se è continua e se è derivabile nel suo insieme di definizione.Trovare estremo superiore ed inferiore e dire se coincidono col massimo e minimo della funzione.
Risolvere per decomposizione i sguenti integrali:
1) $int1/(sqrt(x+a)+sqrt(x+b))dx$
2) $int(a+broot3logx)/xdx$
3) $int(x-8)/(root3x-2)dx$
4) $inte^x(e^x-1)/(e^x+1)dx$
5) $int1/(senxcosx)dx$.
Risposte
"ENEA84":
Data la funzione:
$f(x)={((lg(x-1))/(x-3),x<1),(2x^2+3,x>=1):}$
dire,giustificando i risultati,se è continua e se è derivabile nel suo insieme di definizione.Trovare estremo superiore ed inferiore e dire se coincidono col massimo e minimo della funzione.
Questa roba non è ben definita, in quanto funzione di $RR$ in sé: $\log(x-1)$ non esiste, se $x < 1$.
"DavidHilbert":
[quote="ENEA84"]Data la funzione:
$f(x)={((lg(x-1))/(x-3),x<1),(2x^2+3,x>=1):}$
dire,giustificando i risultati,se è continua e se è derivabile nel suo insieme di definizione.Trovare estremo superiore ed inferiore e dire se coincidono col massimo e minimo della funzione.
Questa roba non è ben definita, in quanto funzione di $RR$ in sé: $\log(x-1)$ non esiste, se $x < 1$.
[/quote]Ho modificato.
"ENEA84":
Data la funzione:
$f(x)={(lg((x-1)/(x-3)),x<1),(2x^2+3,x>=1):}$
dire,giustificando i risultati,se è continua e se è derivabile nel suo insieme di definizione.Trovare estremo superiore ed inferiore e dire se coincidono col massimo e minimo della funzione.
f è continua e derivabile in ogni p.to del suo insieme di definizione (l'intero $RR$), eccetto che in $x = 1$. Infatti $5 = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \ne \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. Perciò inf$._{x \in RR} f(x) = -\infty$, e la funzione non ammette minimo (assoluto).
Del resto, sup$._{x \to RR} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, e perciò $f$ non ammette neppure massimo (assoluto).
"ENEA84":
Data la funzione:
$f(x)={(lg((x-1)/(x-3)),x<1),(2x^2+3,x>=1):}$
dire,giustificando i risultati,se è continua e se è derivabile nel suo insieme di definizione.Trovare estremo superiore ed inferiore e dire se coincidono col massimo e minimo della funzione.
Risolvere per decomposizione i sguenti integrali:
1) $int1/(sqrt(x+a)+sqrt(x+b))dx$
2) $int(a+broot3logx)/xdx$
3) $int(x-8)/(root3x-2)dx$
4) $inte^x(e^x-1)/(e^x+1)dx$
5) $int1/(senxcosx)dx$.
Integrali:
1)$1/(sqrt(x+a)+sqrt(x+b))=(sqrt(x+a)-sqrt(x+b))/(a-b)$ per cui
$int1/(sqrt(x+a)+sqrt(x+b))dx=1/(a-b)(intsqrt(x+a)dx-intsqrt(x+b)dx)=1/(a-b)*2/3*((x+a)^(3/2)-(x+b)^(3/2))+K$
2)$int(a+broot3logx)/xdx=a*int1/xdx+b*int(lnx)^(1/3)/xdx=aln|x|+3/4*b*(lnx)^(4/3)+K$
3)$x-8=(root(3)(x)-2)(root(3)(x^2)+2*root(3)(x)+4)$ per cui
$int(x-8)/(root3x-2)dx=int(root(3)(x^2)+2*root(3)(x)+4)dx=int(x^(2/3)+2*x^(1/3)+4)dx=3/5*x^(5/3)+3/2*x^(4/3)+4x+K$
4) $inte^x(e^x-1)/(e^x+1)dx$. Facciamo la sostituzione $e^x=t->e^xdx=dt$ per cui
$inte^x(e^x-1)/(e^x+1)dx=int(t-1)/(t+1)dt=intdt-2int1/(t+1)dt=t-2ln|t+1|=e^x-2ln(e^x+1)+K$
5)$int1/(sinxcosx)dx=int(sin^2x+cos^2x)/(sinxcosx)dx=int(sinx)/(cosx)dx+int(cosx)/(sinx)dx=-ln|cosx|+ln|sinx|=ln|tgx|+K$
ok...
ma anche il quarto si deve fareper decomposizione!
ma anche il quarto si deve fareper decomposizione!
"ENEA84":
ok...
ma anche il quarto si deve fareper decomposizione!
è la stessa cosa, comunque:
$inte^x(e^x-1)/(e^x+1)dx=inte^xdx-2int(e^x)/(e^x+1)dx=e^x-2ln(e^x+1)+K$
"nicola de rosa":
[quote="ENEA84"]ok...
ma anche il quarto si deve fareper decomposizione!
è la stessa cosa, comunque:
$inte^x(e^x-1)/(e^x+1)dx=inte^xdx-2int(e^x)/(e^x+1)dx=e^x-2ln(e^x+1)+K$[/quote]
non capisco i passaggi intermedi (quelli che non ci sono)
"ENEA84":
[quote="nicola de rosa"][quote="ENEA84"]ok...
ma anche il quarto si deve fareper decomposizione!
è la stessa cosa, comunque:
$inte^x(e^x-1)/(e^x+1)dx=inte^xdx-2int(e^x)/(e^x+1)dx=e^x-2ln(e^x+1)+K$[/quote]
non capisco i passaggi intermedi (quelli che non ci sono)[/quote]
$(e^x-1)/(e^x+1)=(e^x+1-2)/(e^x+1)=1-(2)/(e^x+1)$
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