Esercitazione per il test INDAM
Ciao a tutti, mi sto esercitando per il test INDAM facendo i quesiti degli anni passati. C'è un problema la cui soluzione non mi convince:
Io ho ragionato così:
$e^ln((6x^2-5x)^(6x^2-11x))=e^ln1$
$e^((6x^2-11x)ln(6x^2-5x))=e^ln1$
$(6x^2-11x)ln(6x^2-5x)=0$
Discutendo il logaritmo si ha che: $6x^2-5x>0$ da cui $x<0 uu x> 5/6$
Ora, fattore per fattore, trovo le radici:
$6x^2-11x=0$ per $x = 11/6 uu x = 0$
$ln(6x^2-5x)=0 => 6x^2-5x=1 => 6x^2-5x-1=0$ per $x = - 1/6 uu x = 1$
Ma visto che $x<0 uu x> 5/6$, $x=0$ non è una soluzione, quindi le soluzioni sarebbero: $x=11/6 uu x=-1/6 uu x=1$.
Tuttavia leggendo la soluzione, la mia risposta è incompleta di un'altra soluzione, $x=1/2$ che viene trovata in un modo "strano"... Che cosa non ho considerato nel mio svolgimento? Da dove esce questo $x=1/2$????
Grazie!!
Trovare le soluzioni reali dell'equazione:
$(6x^2-5x)^(6x^2-11x)=1$
Io ho ragionato così:
$e^ln((6x^2-5x)^(6x^2-11x))=e^ln1$
$e^((6x^2-11x)ln(6x^2-5x))=e^ln1$
$(6x^2-11x)ln(6x^2-5x)=0$
Discutendo il logaritmo si ha che: $6x^2-5x>0$ da cui $x<0 uu x> 5/6$
Ora, fattore per fattore, trovo le radici:
$6x^2-11x=0$ per $x = 11/6 uu x = 0$
$ln(6x^2-5x)=0 => 6x^2-5x=1 => 6x^2-5x-1=0$ per $x = - 1/6 uu x = 1$
Ma visto che $x<0 uu x> 5/6$, $x=0$ non è una soluzione, quindi le soluzioni sarebbero: $x=11/6 uu x=-1/6 uu x=1$.
Tuttavia leggendo la soluzione, la mia risposta è incompleta di un'altra soluzione, $x=1/2$ che viene trovata in un modo "strano"... Che cosa non ho considerato nel mio svolgimento? Da dove esce questo $x=1/2$????
Grazie!!
Risposte
Credo che sia tutt'altro che facile rispondere in maniera convincente.
La ragione per cui $x=1/2$ è soluzione si capisce sostituendo: la base viene uguale a -1 e l'esponente viene un numero pari.
Ciò induce a generalizzare un po' il ragionamento: si potrebbero aggiungere le soluzioni date dalle due condizioni insieme
a) base intera e negativa,
b) esponente intero,
perché se vogliamo in questo caso l'espressione ottenuta ha senso.
Nel nostro caso una base negativa elevata ad un esponente intero dà 1 se e solo se la base è -1, quindi andando ad imporre $6x^2-5x=-1$ si ottengono le soluzioni $x=1/2$ e $x=1/3$. Sostituendo $1/2$ l'equazione è verificata, mentre sostituendo $1/3$ viene $(-1)^{-3} = -1 \ne 1$.
Questo mi ricorda l'altro post in cui Wizard aveva domandato per quali valori di $x$ e $y$ fosse definita l'espressione $x^y$. In effetti si potrebbe estendere il dominio di definizione aggiungendo le coppie (x,y) dove x è un intero negativo e y è un intero. Però a quanto mi risulta i libri di analisi non lo fanno.
PS: io nel 2003 ho vinto la borsa dell'Indam. Mi raccomando vincila! Oltre che ricevere soldi, farai viaggi interessanti in giro per l'Italia dal sapore matematico
La ragione per cui $x=1/2$ è soluzione si capisce sostituendo: la base viene uguale a -1 e l'esponente viene un numero pari.
Ciò induce a generalizzare un po' il ragionamento: si potrebbero aggiungere le soluzioni date dalle due condizioni insieme
a) base intera e negativa,
b) esponente intero,
perché se vogliamo in questo caso l'espressione ottenuta ha senso.
Nel nostro caso una base negativa elevata ad un esponente intero dà 1 se e solo se la base è -1, quindi andando ad imporre $6x^2-5x=-1$ si ottengono le soluzioni $x=1/2$ e $x=1/3$. Sostituendo $1/2$ l'equazione è verificata, mentre sostituendo $1/3$ viene $(-1)^{-3} = -1 \ne 1$.
Questo mi ricorda l'altro post in cui Wizard aveva domandato per quali valori di $x$ e $y$ fosse definita l'espressione $x^y$. In effetti si potrebbe estendere il dominio di definizione aggiungendo le coppie (x,y) dove x è un intero negativo e y è un intero. Però a quanto mi risulta i libri di analisi non lo fanno.
PS: io nel 2003 ho vinto la borsa dell'Indam. Mi raccomando vincila! Oltre che ricevere soldi, farai viaggi interessanti in giro per l'Italia dal sapore matematico
"Martino":
Credo che sia tutt'altro che facile rispondere in maniera convincente.
La ragione per cui $x=1/2$ è soluzione si capisce sostituendo: la base viene uguale a -1 e l'esponente viene un numero pari.
Ciò induce a generalizzare un po' il ragionamento: si potrebbero aggiungere le soluzioni date dalle due condizioni insieme
a) base intera e negativa,
b) esponente intero,
perché se vogliamo in questo caso l'espressione ottenuta ha senso.
Nel nostro caso una base negativa elevata ad un esponente intero dà 1 se e solo se la base è -1, quindi andando ad imporre $6x^2-5x=-1$ si ottengono le soluzioni $x=1/2$ e $x=1/3$. Sostituendo $1/2$ l'equazione è verificata, mentre sostituendo $1/3$ viene $(-1)^{-3} = -1 \ne 1$.
Questo mi ricorda l'altro post in cui Wizard aveva domandato per quali valori di $x$ e $y$ fosse definita l'espressione $x^y$. In effetti si potrebbe estendere il dominio di definizione aggiungendo le coppie (x,y) dove x è un intero negativo e y è un intero. Però a quanto mi risulta i libri di analisi non lo fanno.
E' la stessa spiegazione che dà anche sulle soluzioni. Però è un modo un pò "anomalo" per risolvere le equazioni! Pensavo che ci fosse un sistema per arrivarci algebricamente, senza fare questa analisi preliminare...
PS: io nel 2003 ho vinto la borsa dell'Indam. Mi raccomando vincila! Oltre che ricevere soldi, farai viaggi interessanti in giro per l'Italia dal sapore matematico
Magari!! Spero di vincerla, sui quesiti me la cavo, ne faccio almeno 8 giusti sempre, sono i problemi che mi mettono un pò in difficolta... Perchè magari capita che dice "dimostrare che ....", e io mi impiccio perchè SO BENE che quella cosa è così, ma non so dimostrarla!!
Comunque i concorrenti sono aumentati tantissimo negli ultimi anni! Avrò un bel pò di "nemici"
"fu^2":
anche io l'ho risvolta e mi esce come a te.
Noto un'altra cosa soprattutto:
[...]
come può quindi essere soluzione?
E' vero hai ragione!! Non so che rispondere.........
ho cancellato il mio reply perchè leggendo il post di Martino mi son accorto che per rendere accettabile la soluzione x=1/2 bisogna anche tenere in considerazione l'eventualità che la base sia -1 e l'esponente intero, come ha ben scritto martino.
quindi bisogna mettere un'ulteriore condizione d'esistenza penso...
ps anche io sarò un tuo nemico, e tu un mio
pps dove lo fai il concorso?
quindi bisogna mettere un'ulteriore condizione d'esistenza penso...
ps anche io sarò un tuo nemico, e tu un mio
pps dove lo fai il concorso?
"fu^2":
ho cancellato il mio raply perchè leggendo il post di Martino mi son accorto che per rendere accettabile la soluzione x=1/2 bisogna anche tenere in considerazione l'eventualità che la base sia -1 e l'esponente intero, come ha ben scritto martino.
quindi bisogna mettere un'ulteriore condizione d'esistenza penso...
ah si è vero!
"fu^2":
ps anche io sarò un tuo nemico, e tu un mio
pps dove lo fai il concorso?
molto lieto di conoscerla caro avversario!
. Lo farò a Roma, Tor Vergata. Tu??[OT]
Approposito, visto che anche tu sei inscritto, l'inscrizione online è sufficiente no? Arrivata l'email di conferma non devo fare altro giusto?? Thanks
[/OT]
"gygabyte017":
[OT]
Approposito, visto che anche tu sei inscritto, l'inscrizione online è sufficiente no? Arrivata l'email di conferma non devo fare altro giusto?? Thanks
[/OT]
[OT]
io a milano lo faccio,
comunque anche io mi sono iscritto online e anche a me è arrivata la mail di conferma. Penso proprio che basti quella...
se ti arriva una mail di conferma vuol dire che hanno ricevuto la tua domanda e quindi sei iscritto
ora aspettiam l'11
Già che ci sto, posto un altro questito che mi lascia perplesso:
Qual'è la risposta giusta secondo voi? E perchè??
PS fu^2 ma tu come te la cavi? X curiosità come ti stai preparando?
Da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola se ne tolgono casualmente 30. Successivamente si estraggono due numeri fra i rimanenti 60. La probabilità che il numero 15 sia tra i due estratti è:
A) 2/90
B) 2/60
C) 1/60 x 1/59
D) 1/90 + 1/89
E) 1/90
Qual'è la risposta giusta secondo voi? E perchè??
PS fu^2 ma tu come te la cavi? X curiosità come ti stai preparando?
"gygabyte017":
Già che ci sto, posto un altro questito che mi lascia perplesso:
Da un sacchetto contenente i 90 numeri della tombola se ne tolgono casualmente 30. Successivamente si estraggono due numeri fra i rimanenti 60. La probabilità che il numero 15 sia tra i due estratti è:
A) 2/90
B) 2/60
C) 1/60 x 1/59
D) 1/90 + 1/89
E) 1/90
Qual'è la risposta giusta secondo voi? E perchè??
PS fu^2 ma tu come te la cavi? X curiosità come ti stai preparando?
Ma questo è un trabocchetto!! La risposta è banalissima: 2/90.
Francesco Daddi
scusa, ma il 15 devi sceglierlo tra i 60 rimasti...
non è quindi 2/60?
@gygabyte017
su tre prove passate che ho fatto, ho semore fatto 7 crocette giuste, poi in uno tre problemi su 4, in uno 1 problema su tre e enll'ultimo due problemi e due sottopunti su 4 del terzo...
Ci sono ancora 10 giorni, vediamo di migliorare un pò... i problemi sono la parte ostica
non è quindi 2/60?
@gygabyte017
su tre prove passate che ho fatto, ho semore fatto 7 crocette giuste, poi in uno tre problemi su 4, in uno 1 problema su tre e enll'ultimo due problemi e due sottopunti su 4 del terzo...
Ci sono ancora 10 giorni, vediamo di migliorare un pò... i problemi sono la parte ostica
Ecco come ho provato io.
La risposta è $2/90$.
Siccome le prime $15$ palline coi numeri della tombola sono tolte casualmente non c'è nessuna differenza con uno che le estrae dal sacchetto che le contiene tutte e $90$; per arrivare alla soluzione si devono poi considerare le possibili coppie che danno il $15$ e quelle che non lo danno.
A voi il voto...
La risposta è $2/90$.
Siccome le prime $15$ palline coi numeri della tombola sono tolte casualmente non c'è nessuna differenza con uno che le estrae dal sacchetto che le contiene tutte e $90$; per arrivare alla soluzione si devono poi considerare le possibili coppie che danno il $15$ e quelle che non lo danno.
A voi il voto...
anch'io sarò fra i vostri nemici... tenterò a pisa...
per quanto riguarda il quesito, si potrbbe ragionare anche così (non so se è sbagliato oppure no): la probabilità che nei 60 numeir rimanenti ci sia ancora il numero 15 è $60/90$, mentre che in due estrazioni si estragga proprio il 15 è $2/60$..la probabilità risultante dall'interagire di queste due probabilità (scusate se non conosco il lessico specifico) è $60/90*2/90=2/904..la risposta è giusta, però sento che c'è qualcosa di fondo di sbagliato in questo mio ragionamento..oppure no? chi mi illumina?
tenterò a pisa...per quanto riguarda il quesito, si potrbbe ragionare anche così (non so se è sbagliato oppure no): la probabilità che nei 60 numeir rimanenti ci sia ancora il numero 15 è $60/90$, mentre che in due estrazioni si estragga proprio il 15 è $2/60$..la probabilità risultante dall'interagire di queste due probabilità (scusate se non conosco il lessico specifico) è $60/90*2/90=2/904..la risposta è giusta, però sento che c'è qualcosa di fondo di sbagliato in questo mio ragionamento..oppure no? chi mi illumina?
scusate ho scazzato col linguaggio...
anch'io sarò fra i vostri nemici... tenterò a pisa...
per quanto riguarda il quesito, si potrbbe ragionare anche così (non so se è sbagliato oppure no): la probabilità che nei 60 numeir rimanenti ci sia ancora il numero 15 è $60/90$, mentre che in due estrazioni si estragga proprio il 15 è $2/60$ ..la probabilità risultante dall'interagire di queste due probabilità (scusate se non conosco il lessico specifico) è $60/90*2/60=2/90$.. Poi volevo dire che secondo me c'è un errore di fondo in questo mio ragionamento, percepisco qualcosa di sbagliato...oppure no? chi mi illumina?
anch'io sarò fra i vostri nemici... tenterò a pisa...
per quanto riguarda il quesito, si potrbbe ragionare anche così (non so se è sbagliato oppure no): la probabilità che nei 60 numeir rimanenti ci sia ancora il numero 15 è $60/90$, mentre che in due estrazioni si estragga proprio il 15 è $2/60$ ..la probabilità risultante dall'interagire di queste due probabilità (scusate se non conosco il lessico specifico) è $60/90*2/60=2/90$.. Poi volevo dire che secondo me c'è un errore di fondo in questo mio ragionamento, percepisco qualcosa di sbagliato...oppure no? chi mi illumina?
"alvinlee88":
la probabilità che nei 60 numeir rimanenti ci sia ancora il numero 15 è $60/90$
La probabilità che su $60$ numeri ci sia il $15$, tenendo conto del fatto che $30$ sono stati tolti è $29/30$ cioè il completamente della certezza che il $15$ stia tra i primi $30$ tolti: tolti i $30$ numeri c'è $1/30$ possibilità che uno di questi sia il $15$ e $29/30$ che non lo sia.
Almeno credo (non vorrei avere detto boiate ma è probabilissimo - mo ci vuole - che lo abbia fatto)
$1/30$ è la prob che in un sacchetto di 30 numeri tu estragga proprio il 15...ma qui si parla di 90 numeri da cui se ne tolgono 30.
ome disse una volta il buon e saggio Fioravante (che spero torni a postare), questi numeri alti confondono e basta.
immagina di avere un sacchetto di 5 palline (numerate 1,2,3,4,5), da cui ne togli 2 A CASO. qual'è la probabilità che fra quelle due ci sia il numero 1? ovviamente $1/5$ e non $1/2$. stessa cosa per le novanta palline. la probabilità che ci sia il 15, sia nel mucchio da 30 che da quello da 60 è sempre $1/90$...quindi, con due estrazioni, $2/90$...è un altro modo di ragionare (credo quello corretto) rispetto a quello che avevo detto prima, però anche se so che fondamentalmente il vecchio modo di ragionare è sbagliato mi ha portato alla soluzione corretta. chi mi illumina?
ome disse una volta il buon e saggio Fioravante (che spero torni a postare), questi numeri alti confondono e basta.
immagina di avere un sacchetto di 5 palline (numerate 1,2,3,4,5), da cui ne togli 2 A CASO. qual'è la probabilità che fra quelle due ci sia il numero 1? ovviamente $1/5$ e non $1/2$. stessa cosa per le novanta palline. la probabilità che ci sia il 15, sia nel mucchio da 30 che da quello da 60 è sempre $1/90$...quindi, con due estrazioni, $2/90$...è un altro modo di ragionare (credo quello corretto) rispetto a quello che avevo detto prima, però anche se so che fondamentalmente il vecchio modo di ragionare è sbagliato mi ha portato alla soluzione corretta. chi mi illumina?
La risposta esatta è proprio $2/90$
La soluzione data dalle soluzioni corrisponde più o meno a quella data da WiZaRd e alvinlee88 alla fine.
E cioè: i primi 30 numeri essendo tolti casualmente non influenzano la probabilità. I casi favorevoli sono tutte le coppie composte da 15 più uno dei rimanenti 89 numeri, quindi 89; i casi possibili sono le combinazioni di 90 elementi presi a 2 a 2, quindi:
$p=89/((89x90)/2)=2/90$
Sarà pure così però il ragionamento non mi convince......
La soluzione data dalle soluzioni corrisponde più o meno a quella data da WiZaRd e alvinlee88 alla fine.
E cioè: i primi 30 numeri essendo tolti casualmente non influenzano la probabilità. I casi favorevoli sono tutte le coppie composte da 15 più uno dei rimanenti 89 numeri, quindi 89; i casi possibili sono le combinazioni di 90 elementi presi a 2 a 2, quindi:
$p=89/((89x90)/2)=2/90$
Sarà pure così però il ragionamento non mi convince......
Ma alla seconda estrazione non rimangono $89$ palline?
Il problema poteva essere così:
"Si tolgono 10 palline, poi altre 10, poi altre 10. Qual è la prob ...etc..."
Ma poteva anche essere:
"Si tolgono 4 palline, poi altre 19. Qual è la prob .. etc..."
Non so se mi sono spiegato.
Francesco Daddi
"Si tolgono 10 palline, poi altre 10, poi altre 10. Qual è la prob ...etc..."
Ma poteva anche essere:
"Si tolgono 4 palline, poi altre 19. Qual è la prob .. etc..."
Non so se mi sono spiegato.
Francesco Daddi
Chi dice $\frac{2}{60}$ sta supponendo che il 15 sicuramente non è tra le prime 30 palline scartate.
Il problema è del tutto equivalente a dire:
"Da un sacco di 90 palline se ne estraggono 2. Qual è la prob.. etc.."
Francesco Daddi
Il problema è del tutto equivalente a dire:
"Da un sacco di 90 palline se ne estraggono 2. Qual è la prob.. etc.."
Francesco Daddi
"franced":
Il problema poteva essere così:
"Si tolgono 10 palline, poi altre 10, poi altre 10. Qual è la prob ...etc..."
Ma poteva anche essere:
"Si tolgono 4 palline, poi altre 19. Qual è la prob .. etc..."
Non so se mi sono spiegato.
Francesco Daddi
Si questo l'ho capito..... Quello che mi sfugge è PERCHE' è così?!?!
Cioè non riesco a capire per quale motivo quelle palline non contano.... Mi sa che devo ripassare bene la probabilità....Altro quesito simile sempre sulla probabilità:
Vengono estratti nel gioco del lotto 5 numeri da 1 a 90, senza reimbussolamento. Qual'è la prob che i 5 numeri estratti siano in ordine crescente o decrescente?
A) 1/120
B) 1/40
C) 1/55
D) 1/45
E) 1/60
Anche qua sono mooolto in difficoltà.......
Ah no ci sono!!! Mi è venuto un ragionamento che mi sembra abbastanza plausibile!
Se il 15 deve uscire DOPO che sono stati tolti i 30 numeri, significa che A) Il 15 NON deve essere nei 30 numeri. Eppoi deve essere che B) esce 15 estraendo due numeri sui 60 rimanenti.
Allora:
$p(A) = 60/90$
$p(B) = 59/C_(60,2) = 59/((60*59)/2)=2/60$ facendo ovviamente come casi favorevoli tutte le combinazioni del 15 unito a un altro dei 59 numeri rimanenti, e come casi possibili tutti i possibili ambi su 60 numeri
Quindi:
$p=p(A) uu p(B) = 60/90*2/60=2/90$
Ora mi sembra che ci siamo......
Se il 15 deve uscire DOPO che sono stati tolti i 30 numeri, significa che A) Il 15 NON deve essere nei 30 numeri. Eppoi deve essere che B) esce 15 estraendo due numeri sui 60 rimanenti.
Allora:
$p(A) = 60/90$
$p(B) = 59/C_(60,2) = 59/((60*59)/2)=2/60$ facendo ovviamente come casi favorevoli tutte le combinazioni del 15 unito a un altro dei 59 numeri rimanenti, e come casi possibili tutti i possibili ambi su 60 numeri
Quindi:
$p=p(A) uu p(B) = 60/90*2/60=2/90$
Ora mi sembra che ci siamo......
Vengono estratti nel gioco del lotto 5 numeri da 1 a 90, senza reimbussolamento. Qual'è la prob che i 5 numeri estratti siano in ordine crescente o decrescente?
A) 1/120
B) 1/40
C) 1/55
D) 1/45
E) 1/60
Qui il risultato è $\frac{1}{120}$ perché $5! = 120$.
Francesco Daddi
A) 1/120
B) 1/40
C) 1/55
D) 1/45
E) 1/60
Qui il risultato è $\frac{1}{120}$ perché $5! = 120$.
Francesco Daddi
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