Esempio su un libro di equazioni differenziali
Ciao a tutti volevo chiedervi se riuscite a spiegarmi un passaggio di una parte di un esempio. L'esempio lo allego come immagine e sono poche righe (non lo ho postato tutto). E' abbastanza urgente quindi se riuscite a farmi capire questo passaggio ve ne sono molto grato. Si ha un sistema di equazioni differenziali
$$\begin{cases} \dot{x} = u^2 - y^2 & {} \\ \dot{y} = u & {} \end{cases} \qquad u:=u(t) \in [-1,1]. $$
Consideriamo le soluzioni con dato iniziale $x(0)=0$ e $y(0) = 0$ e studiamole per $t \in [0,1]$.
Se $y\equiv 0$, allora $u=\dot{y}=0$, e $\dot{x} = u^2 - y^2=0$. Poiché $x(0)=0$, allora anche $x(t) \equiv 0$.
Se invece $y(t)$ non coincide con 0, allora $ \dot{x} = u^2 - y^2 \leq u^2 \leq 1$. In particolare $\dot{x}(t) < 1$ negli intervalli in cui $y(t) \ne 0$ (e questo va bene perchè se $y(t) \ne 0$ allora $ \dot{x} = u^2 - y^2 < u^2 \leq 1$ . \\
Ora ecco il passaggio che non ho capito.
Dunque $x(1) < 1$ per tutte le soluzioni e il punto $t=1, x=1, y=0$ non appartiene al grafico delle soluzioni con dato iniziale nullo per $t \in [0,1]$
Perchè $x(1) < 1$? Ho pensato che ha integrato tra 0 e 1 entrambi i membri della disuguaglianza $\dot{x}(t) < 1$, però teoricamente se $y=0$, $x(1)$ non potrebbe valere tranquillamente $1$? Cioè chi mi dice che $x(1)$ non può essere uguale a $1$?
Grazie
$$\begin{cases} \dot{x} = u^2 - y^2 & {} \\ \dot{y} = u & {} \end{cases} \qquad u:=u(t) \in [-1,1]. $$
Consideriamo le soluzioni con dato iniziale $x(0)=0$ e $y(0) = 0$ e studiamole per $t \in [0,1]$.
Se $y\equiv 0$, allora $u=\dot{y}=0$, e $\dot{x} = u^2 - y^2=0$. Poiché $x(0)=0$, allora anche $x(t) \equiv 0$.
Se invece $y(t)$ non coincide con 0, allora $ \dot{x} = u^2 - y^2 \leq u^2 \leq 1$. In particolare $\dot{x}(t) < 1$ negli intervalli in cui $y(t) \ne 0$ (e questo va bene perchè se $y(t) \ne 0$ allora $ \dot{x} = u^2 - y^2 < u^2 \leq 1$ . \\
Ora ecco il passaggio che non ho capito.
Dunque $x(1) < 1$ per tutte le soluzioni e il punto $t=1, x=1, y=0$ non appartiene al grafico delle soluzioni con dato iniziale nullo per $t \in [0,1]$
Perchè $x(1) < 1$? Ho pensato che ha integrato tra 0 e 1 entrambi i membri della disuguaglianza $\dot{x}(t) < 1$, però teoricamente se $y=0$, $x(1)$ non potrebbe valere tranquillamente $1$? Cioè chi mi dice che $x(1)$ non può essere uguale a $1$?
Grazie
Risposte
Così, giusto facendo due conti rapidi:
$$\dot{x}(t)<1\ \Rightarrow\ \int_0^1 \dot{x}(t) dt<\int_0^1 dt\ \Rightarrow\ x(1)-x(0)< t$$
per ogni $t\in[0,1]$. Ne segue $x(1)<1$
$$\dot{x}(t)<1\ \Rightarrow\ \int_0^1 \dot{x}(t) dt<\int_0^1 dt\ \Rightarrow\ x(1)-x(0)< t$$
per ogni $t\in[0,1]$. Ne segue $x(1)<1$
scusa ma $$ \int_{0}^{1} dt $$ non è uguale a $1$?
Si, a ciampax è partita una t al posto di un 1. Sarebbe
$\dot{x}(t)<1\ \Rightarrow\ \int_0^1 \dot{x}(t) dt<\int_0^1 dt\ \Rightarrow\ x(1)-x(0)< 1$
Quanto a
ricorda che tu stai supponendo
Per $y(t)$ identicamente nulla hai che tutte e tre le funzioni sono identicamente nulle.
$\dot{x}(t)<1\ \Rightarrow\ \int_0^1 \dot{x}(t) dt<\int_0^1 dt\ \Rightarrow\ x(1)-x(0)< 1$
Quanto a
"tranesend":
Perchè x(1)<1? Ho pensato che ha integrato tra 0 e 1 entrambi i membri della disuguaglianza x.(t)<1, però teoricamente se y=0, x(1) non potrebbe valere tranquillamente 1? Cioè chi mi dice che x(1) non può essere uguale a 1?
ricorda che tu stai supponendo
"tranesend":
se invece y(t) non coincide con 0
Per $y(t)$ identicamente nulla hai che tutte e tre le funzioni sono identicamente nulle.
Yep, sorry, scritto t al posto che $1$.
Ho sentito di colpe peggiori.
Ma non molte.
Ma non molte.
"IlPolloDiGödel":
Si, a ciampax è partita una t al posto di un 1. Sarebbe
$\dot{x}(t)<1\ \Rightarrow\ \int_0^1 \dot{x}(t) dt<\int_0^1 dt\ \Rightarrow\ x(1)-x(0)< 1$
Quanto a
[quote="tranesend"]Perchè x(1)<1? Ho pensato che ha integrato tra 0 e 1 entrambi i membri della disuguaglianza x.(t)<1, però teoricamente se y=0, x(1) non potrebbe valere tranquillamente 1? Cioè chi mi dice che x(1) non può essere uguale a 1?
ricorda che tu stai supponendo
"tranesend":
se invece y(t) non coincide con 0
Per $y(t)$ identicamente nulla hai che tutte e tre le funzioni sono identicamente nulle.[/quote]
Un'altra domanda relativa a questa esempio. Nella parte successiva Filippov crea una successione di soluzioni in $[0,1]$ con dato iniziale nullo, e dimostra che con una rapida variazione del parametro $u$ si può andare molto vicino al punto $(t=1,x=1,y=0)$.
C'è una maggiorazione che non ho capito, potresti illuminarmi se riesci?
Consideriamo le soluzioni $x_k(t)$, $y_k(t)$ con dato iniziale nullo.
Facciamo variare in questo modo il parametro $u$:
$$u=1 \quad \left(\dfrac{2i}{k} \leq t \leq \dfrac{2i+1}{k}\right)$$
$$u=-1 \quad \left(\dfrac{2i+1}{k} \leq t \leq \dfrac{2i+2}{k}\right)$$
Quella che ora segue è la maggiorazione che non ho capito
Allora si ha che
$$0 \leq y_k(t) \leq \dfrac{1}{k} \qquad (perché?)$$
E da questo segue che (Queste due maggiorazioni seguono da quella precedente e le ho capite)
$$\dot{x} \geq 1 - \dfrac{1}{k^2} \qquad x_k(1) \geq 1 - \dfrac{1}{k^2}$$.
Ho pensato che poiché
$$\dot{y}_k(t) = u(t)$$ allora sostituendo $u(t) = 1$ si otterrebbe che
$$\dot{y}_k(t) = 1$$. E quindi otterrei integrando entrambi i membri che $y_k(t) = t.$
Quello che ora so è soltanto che in questo caso per aver scelto $u(t)=1$, allora $t \in [\frac{2i}{k},\frac{2i+1}{k}].$
Ma come ottengo che
$$0 \leq y_k(t) \leq \dfrac{1}{k} $$ ?
Allego l'esempio qui sotto
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