Esempio non compreso. Distanza convergenza uniforme e metrica integrale..
Ciao a tutti già con l'inizio della mia Analisi 2, sto già avendo qualche problema. A lezione stiamo trattando un po' più nel dettaglio gli spazi metrici, con varie distanze. All'ultima lezione la nostra prof ci ha fatto questo esempio, però io non l'ho capito fino in fondo. Aiutatemi. Grazie in anticipo.
Notazione: indico con $C([a,b])$ l'insieme delle funzioni continue nell'intervallo $[a,b]$
poi la prof ci ha detto la metrica della convergenza uniforme.
Nel caso di funzioni a valori reali è $ d(f,g)=Sup_(x\in X) |f(x)-g(x)| $
Poi ci fa questo esempio e ci introduce una nuova metrica.
Lo spazio $C([-1,1])$ è completo nella metrica della convergenza uniforme, non lo è invece con $ d_1(f,g)=\int_(-1)^(1)|f(x)-g(x)|dx $
poniamo in fatti \( f_n(x)=\begin{cases} -1 \\ nx \\ 1 \end{cases} \),
ove $-1$ se $x\in [-1,-1/n]$, $nx$ se $x\in(-1/n,1/n)$ e $1 $ se $x\in [1/n.1]$
concordo che è di Cauchy in $C([-1,1])$ con la metrica $d_1$.
(Il mio dubbio, quello che non capisco, è ora)
Poi dice per $m>n$ risulta $f_n - f_m=0$ fuori dall'intervallo $[-1/n, 1/n]$, cosìcché
$ d_1(f_n, f_m)=int_(-1/n)^(1/n) |f_n(x)-f_m (x)| dx \leq \int_(-1/n)^(1/n) dx=2/n $.
Quindi conclude che non è completo..
Ma io mi domando, come non è completo?.. $2/n\to 0 $ per $n\to +\infty$
so benissimo la definizione, che se uno sp. metrico X è completo, se ogni successione di Cauchy in X è convergente.
Ma questa mi sembra che converge benissimo. Cosa c'è che non mi quadra?
Notazione: indico con $C([a,b])$ l'insieme delle funzioni continue nell'intervallo $[a,b]$
poi la prof ci ha detto la metrica della convergenza uniforme.
Nel caso di funzioni a valori reali è $ d(f,g)=Sup_(x\in X) |f(x)-g(x)| $
Poi ci fa questo esempio e ci introduce una nuova metrica.
Lo spazio $C([-1,1])$ è completo nella metrica della convergenza uniforme, non lo è invece con $ d_1(f,g)=\int_(-1)^(1)|f(x)-g(x)|dx $
poniamo in fatti \( f_n(x)=\begin{cases} -1 \\ nx \\ 1 \end{cases} \),
ove $-1$ se $x\in [-1,-1/n]$, $nx$ se $x\in(-1/n,1/n)$ e $1 $ se $x\in [1/n.1]$
concordo che è di Cauchy in $C([-1,1])$ con la metrica $d_1$.
(Il mio dubbio, quello che non capisco, è ora)
Poi dice per $m>n$ risulta $f_n - f_m=0$ fuori dall'intervallo $[-1/n, 1/n]$, cosìcché
$ d_1(f_n, f_m)=int_(-1/n)^(1/n) |f_n(x)-f_m (x)| dx \leq \int_(-1/n)^(1/n) dx=2/n $.
Quindi conclude che non è completo..
Ma io mi domando, come non è completo?.. $2/n\to 0 $ per $n\to +\infty$
so benissimo la definizione, che se uno sp. metrico X è completo, se ogni successione di Cauchy in X è convergente.
Ma questa mi sembra che converge benissimo. Cosa c'è che non mi quadra?
Risposte
Ricorda che ai tuoi fini l'elemento cui converge ogni successione(di funzioni,nel nostro caso..)di Cauchy dello spazio metrico in oggetto,a norma di definizione,deve appartenere allo spazio in questione:
magari tutto si spiega col fatto che la funzione limite della tua successione non è continua in $[-1,1]$
.
Saluti dal web.
magari tutto si spiega col fatto che la funzione limite della tua successione non è continua in $[-1,1]$
.Saluti dal web.
Ovviamente l'esempio non è concluso.
Finora hai mostrato che la successione assegnata è di Cauchy in \(C([-1,1])\) dotato della metrica \(L^1\).
Ora devi calcolare il limite della successione (limite rispetto alla metrica \(L^1\), ovviamente) e mostrare che tale limite non è in \(C([-1,1])\).
Finora hai mostrato che la successione assegnata è di Cauchy in \(C([-1,1])\) dotato della metrica \(L^1\).
Ora devi calcolare il limite della successione (limite rispetto alla metrica \(L^1\), ovviamente) e mostrare che tale limite non è in \(C([-1,1])\).
"gugo82":
Ovviamente l'esempio non è concluso.
Finora hai mostrato che la successione assegnata è di Cauchy in \(C([-1,1])\) dotato della metrica \(L^1\).
Ora devi calcolare il limite della successione (limite rispetto alla metrica \(L^1\), ovviamente) e mostrare che tale limite non è in \(C([-1,1])\).
cioè ora devo calcolare mi stai dicendo $ \lim_(n\to +\infty) \int_(-1)^(1)|f(x)-g(x)|dx $ esatto?
suppongo siccome da definizione, che uno spazio metrico X è completo se ogni successione è di Cauchy, che questo limite, deve fare un numero $< \varepsilon$, esatto?..
suppongo, almeno se non sbaglio, devo dimostrare che $\lim_(n\to +\infty) \int_(-1)^(1)|f(x)-g(x)|dx=0$
hai qualche idea gugo82 da darmi?.. solo l'idea.. poi vedo di fare io..
In pratica, devi:
[list=1][*:2v9ob65a] farti un'idea di chi è quella funzione \(f\) che potrebbe essere il limite di \((f_n)\) rispetto alla metrica \(L^1\);
[/*:m:2v9ob65a]
[*:2v9ob65a] provare che quella funzione che hai indovinato è proprio il limite di \((f_n)\) in \(L^1\), cioé che risulta:
\[
\lim_n \int_{-1}^1 |f_n(x) - f(x)|\ \text{d} x =0\; ;
\]
[/*:m:2v9ob65a]
[*:2v9ob65a] osservare che \(f\notin C([-1,1])\).[/*:m:2v9ob65a][/list:o:2v9ob65a]
Cominciamo dal punto 1... Quale potrebbe essere una buona \(f\) candidata ad essere il limite?
[list=1][*:2v9ob65a] farti un'idea di chi è quella funzione \(f\) che potrebbe essere il limite di \((f_n)\) rispetto alla metrica \(L^1\);
[/*:m:2v9ob65a]
[*:2v9ob65a] provare che quella funzione che hai indovinato è proprio il limite di \((f_n)\) in \(L^1\), cioé che risulta:
\[
\lim_n \int_{-1}^1 |f_n(x) - f(x)|\ \text{d} x =0\; ;
\]
[/*:m:2v9ob65a]
[*:2v9ob65a] osservare che \(f\notin C([-1,1])\).[/*:m:2v9ob65a][/list:o:2v9ob65a]
Cominciamo dal punto 1... Quale potrebbe essere una buona \(f\) candidata ad essere il limite?
scusami gugo82, non è che abbia capito bene..potresti gentilmente farmi vedere l'inizio della tua idea? così cerco di concluderlo..
detto così..ho provato a disegnare la funzione, ma non mi dice niente.. non riesco a calcolare l'area da $-1$ a $1$..
in pratica molto probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua..
detto così..ho provato a disegnare la funzione, ma non mi dice niente.. non riesco a calcolare l'area da $-1$ a $1$..
in pratica molto probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua..
Seguo la divisione in passi proposta nel post precedente.
[list=1][*:3d3qeft7] Disegnando un paio delle tue \(f_n\), ad esempio, \(f_2\) (in viola), \(f_4\) (in blu) ed \(f_{10}\) (in azzurro):
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="purple"; strokewidth=2;
path([[-1,-1],[-0.5,-1],[0.5,1],[1,1]]);
stroke="blue";
path([[-0.5,-1],[-0.25,-1],[0.25,1],[0.5,1]]);
stroke="cyan";
path([[-0.25,-1],[-0.1,-1],[0.1,1],[0.25,1]]);
strokewidth=1; stroke="grey"; marker="arrow"; line([0.6,0.75],[0,0.75]); line([-0.6,-0.75],[0,-0.75]);[/asvg]
noti che le regioni comprese tra i grafici e l'asse delle ascisse (che sono due trapezi rettangoli per ogni \(n\)) tendono, al crescere di \(n\), a confondersi con le regioni delimitate dall'asse delle ascisse e dal grafico seguente:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-1,-1],[0,-1]); line([0,1],[1,1]); dot([0,0]);[/asvg]
che è il grafico della funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} -1 &\text{, se } -1\leq x< 0\\
0 &\text{, se } x=0\\
1 &\text{, se } 0< x\leq 1\; .
\end{cases}
\]
Quindi \(f\) è una funzione "papabile" per essere il limite della successione \((f_n)\) rispetto alla metrica \(L^1\).
[/*:m:3d3qeft7]
[*:3d3qeft7] Adesso proviamo a mostrare che effettivamente risulta:
\[
\lim_n \int_{-1}^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x =0\; .
\]
Dato che \(f\) e tutte le \(f_n\) sono dispari e che il valore assoluto è pari, abbiamo:
\[
\int_{-1}^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x =2\ \int_0^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x \; ;
\]
d'altra parte, graficamente ed analiticamente si vede in maniera facile che \(f_n(x)\leq f(x)\) in \([0,1]\), dunque tenendo presenti le definizioni di \(f\) ed \(f_n\) si trova:
\[
\begin{split}
\int_{-1}^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x &= 2\ \int_0^1 \big( f(x) -f_n(x)\big)\ \text{d} x\\
&= 2\ \left( \int_0^{1/n} + \int_{1/n}^1\right) \big( f(x) -f_n(x)\big)\ \text{d} x\\
&=2\ \int_0^{1/n} (1 - nx)\ \text{d} x\\
&= 2\ \left[ - \frac{1}{2n}\ (1-nx)^2\right]_0^{1/n}\\
&= \frac{1}{n}\; .
\end{split}
\]
Pertanto:
\[
\lim_n \int_{-1}^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x = \lim_n \frac{1}{n} =0
\]
e \(f_n \stackrel{L^1}{\to} f\).
[/*:m:3d3qeft7]
[*:3d3qeft7] Questo è ovvio, dato che \(f\) ha una discontinuità a salto in \(0\).[/*:m:3d3qeft7][/list:o:3d3qeft7]
Sotto al passo 1 c'è qualcosa di più profondo del puro educated guess: invero, la funzione \(f\) è il limite puntuale della tua successione \((f_n)\).
Ciò non è un caso, poiché si dimostra che se una successione \((f_n)\) converge in metrica \(L^1\) verso \(f\), allora esiste una sottosuccessione \((f_{n_k})\) estratta da \((f_n)\) che converge verso \(f\) puntualmente quasi ovunque. Dunque, se la successione di funzioni \((f_n)\) converge puntualmente q.o. verso "qualcosa", tale "qualcosa" è sempre una funzione "papabile" per essere anche il limite in \(L^1\) della successione.
[list=1][*:3d3qeft7] Disegnando un paio delle tue \(f_n\), ad esempio, \(f_2\) (in viola), \(f_4\) (in blu) ed \(f_{10}\) (in azzurro):
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="purple"; strokewidth=2;
path([[-1,-1],[-0.5,-1],[0.5,1],[1,1]]);
stroke="blue";
path([[-0.5,-1],[-0.25,-1],[0.25,1],[0.5,1]]);
stroke="cyan";
path([[-0.25,-1],[-0.1,-1],[0.1,1],[0.25,1]]);
strokewidth=1; stroke="grey"; marker="arrow"; line([0.6,0.75],[0,0.75]); line([-0.6,-0.75],[0,-0.75]);[/asvg]
noti che le regioni comprese tra i grafici e l'asse delle ascisse (che sono due trapezi rettangoli per ogni \(n\)) tendono, al crescere di \(n\), a confondersi con le regioni delimitate dall'asse delle ascisse e dal grafico seguente:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-1,-1],[0,-1]); line([0,1],[1,1]); dot([0,0]);[/asvg]
che è il grafico della funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} -1 &\text{, se } -1\leq x< 0\\
0 &\text{, se } x=0\\
1 &\text{, se } 0< x\leq 1\; .
\end{cases}
\]
Quindi \(f\) è una funzione "papabile" per essere il limite della successione \((f_n)\) rispetto alla metrica \(L^1\).
[/*:m:3d3qeft7]
[*:3d3qeft7] Adesso proviamo a mostrare che effettivamente risulta:
\[
\lim_n \int_{-1}^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x =0\; .
\]
Dato che \(f\) e tutte le \(f_n\) sono dispari e che il valore assoluto è pari, abbiamo:
\[
\int_{-1}^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x =2\ \int_0^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x \; ;
\]
d'altra parte, graficamente ed analiticamente si vede in maniera facile che \(f_n(x)\leq f(x)\) in \([0,1]\), dunque tenendo presenti le definizioni di \(f\) ed \(f_n\) si trova:
\[
\begin{split}
\int_{-1}^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x &= 2\ \int_0^1 \big( f(x) -f_n(x)\big)\ \text{d} x\\
&= 2\ \left( \int_0^{1/n} + \int_{1/n}^1\right) \big( f(x) -f_n(x)\big)\ \text{d} x\\
&=2\ \int_0^{1/n} (1 - nx)\ \text{d} x\\
&= 2\ \left[ - \frac{1}{2n}\ (1-nx)^2\right]_0^{1/n}\\
&= \frac{1}{n}\; .
\end{split}
\]
Pertanto:
\[
\lim_n \int_{-1}^1 |f_n(x)-f(x)|\ \text{d} x = \lim_n \frac{1}{n} =0
\]
e \(f_n \stackrel{L^1}{\to} f\).
[/*:m:3d3qeft7]
[*:3d3qeft7] Questo è ovvio, dato che \(f\) ha una discontinuità a salto in \(0\).[/*:m:3d3qeft7][/list:o:3d3qeft7]
Sotto al passo 1 c'è qualcosa di più profondo del puro educated guess: invero, la funzione \(f\) è il limite puntuale della tua successione \((f_n)\).
Ciò non è un caso, poiché si dimostra che se una successione \((f_n)\) converge in metrica \(L^1\) verso \(f\), allora esiste una sottosuccessione \((f_{n_k})\) estratta da \((f_n)\) che converge verso \(f\) puntualmente quasi ovunque. Dunque, se la successione di funzioni \((f_n)\) converge puntualmente q.o. verso "qualcosa", tale "qualcosa" è sempre una funzione "papabile" per essere anche il limite in \(L^1\) della successione.
Wow magari a lezione la nostra prof spiegasse così! Grazie gugo82 
ho capito ora!..
dai vieni tu nella mia università a fare lezione ed esercitazione.. dai fai domanda!.. mi sembra che spieghi bene!
Grazie ancora!..
ho capito ora!..
dai vieni tu nella mia università a fare lezione ed esercitazione.. dai fai domanda!.. mi sembra che spieghi bene!
Grazie ancora!..
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