Esempio funzione integrabile (Analisi II)
Salve,riuscireste a spiegarmi una cosa che ho ancora molta confusione sull'argomento.
Si consideri il sottoinsieme $A$ di $R^2$ $A$ =[x $in$ $R^2$ : $x_1$$<=$1, $x_2$ $<=$1]
Data la funzione f: $A$$rarr$ $R$ definita da $f(x)$ = $e^{x1+x2}$ provare che $f$ è integrabile su A. Ora io so che $f$ è integrabile su A,se A è un insieme limitato,se $F$ è continua su A e se $f$ è limitata su A. Ora A non è limitato quindi come dimostro che $f$ è integrabile su A? Grazie molte
Si consideri il sottoinsieme $A$ di $R^2$ $A$ =[x $in$ $R^2$ : $x_1$$<=$1, $x_2$ $<=$1]
Data la funzione f: $A$$rarr$ $R$ definita da $f(x)$ = $e^{x1+x2}$ provare che $f$ è integrabile su A. Ora io so che $f$ è integrabile su A,se A è un insieme limitato,se $F$ è continua su A e se $f$ è limitata su A. Ora A non è limitato quindi come dimostro che $f$ è integrabile su A? Grazie molte
Risposte
Immagino tu stia parlando di integrali di Riemann.
In tal caso, devi considerare una successione invadente di insiemi $A_n$, vale a dire una successione t.c. $A_n\subset A_{n+1}$ per ogni $n\in\NN$ e $\cup_n A_n = A$.
La funzione si dice integrabile (in senso generalizzato) in $A$ se esiste finito $\lim_n \int_{A_n} |f|$.
In tal caso si definisce $\int_A f = \lim_n \int_{A_n} f$; si può dimostrare che il valore del limite non dipende dalla scelta della successione invadente.
Nel tuo caso, puoi prendere ad esempio $A_n = \{ (x_1, x_2) \in \RR^2: -n \le x_1 \le 1, -n \le x_2 \le 1\}$.
In tal caso, devi considerare una successione invadente di insiemi $A_n$, vale a dire una successione t.c. $A_n\subset A_{n+1}$ per ogni $n\in\NN$ e $\cup_n A_n = A$.
La funzione si dice integrabile (in senso generalizzato) in $A$ se esiste finito $\lim_n \int_{A_n} |f|$.
In tal caso si definisce $\int_A f = \lim_n \int_{A_n} f$; si può dimostrare che il valore del limite non dipende dalla scelta della successione invadente.
Nel tuo caso, puoi prendere ad esempio $A_n = \{ (x_1, x_2) \in \RR^2: -n \le x_1 \le 1, -n \le x_2 \le 1\}$.
In verità il nostro professore sta affrontando questo argomento con la nozione di misura ed integrale di Lebesgue e tra una serie di teoremi che figurano sull'integrabilità c'è quello che ti ho citato ossia f è integrabile su A,se A è un insieme limitato,se f è continua su A(quindi misurabile su A) e se f(x) è limitata con x appartenente ad A.
In tal caso, pur rimanendo valido quanto già detto, puoi anche fare uso del teorema di Fubini.
Calcola gli integrali iterati e vedi che succede.
Calcola gli integrali iterati e vedi che succede.
Siccome la richiesta è di dire se la funzione è integrabile su A senza calcolare gli integrali,allora dovrò adottare il metodo che hai detto te all'inizio! Grazie!
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