Esempio funzione C infinito, non analitica
Salve,
come esempio di funzione $C^oo(RR)$ ma non analitica, mi e' stata data la seguente funzione, senza spiegazioni:
$f(x)=e^(-1/x^2)$ per $x!=0$
$f(x)=0$ per $x=0$
Avreste qualche suggerimento sul perche' non sia analitica?
Grazie in anticipo!
G
come esempio di funzione $C^oo(RR)$ ma non analitica, mi e' stata data la seguente funzione, senza spiegazioni:
$f(x)=e^(-1/x^2)$ per $x!=0$
$f(x)=0$ per $x=0$
Avreste qualche suggerimento sul perche' non sia analitica?
Grazie in anticipo!
G
Risposte
Prova a scrivere la sua serie di MacLaurin.
Se la funzione è analitica, tale serie deve convergere alla funzione stessa almeno in un intorno di $0$.
Se la funzione è analitica, tale serie deve convergere alla funzione stessa almeno in un intorno di $0$.
Ciao Rigel,
grazie del suggerimento; avevo provato a farlo prima di postare qui, e avevo 'frettolosamente' concluso che la derivata n-esima si annullasse in x=0 per qualsiasi n.
Ho ricontrollato, e forse ora mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, posto qui le mie conclusioni sperando in qualche ulteriore suggerimento:
$(df(x))/dx = 2x^(-3)e^(-1/(x^2))$ per $x!=0$.
In $x=0$, possiamo definire la derivata prima per continuita' utilizzando il teorema di Darboux, essendo che il limite sinistro e destro della derivata in $x=0$ coincidono ( in particolare, $lim_(x->0^-)f^{\prime}(x)=0=lim_(x->0^+)f^{\prime}(x)$ ).
Calcolando le derivate successive, che non riporto per brevita', la storia si ripete (limite sinistro e destro nulli).
Quindi la serie di MacLaurin della funzione e' nulla nell'origine.
Dove sbaglio?
Grazie mille!
G
grazie del suggerimento; avevo provato a farlo prima di postare qui, e avevo 'frettolosamente' concluso che la derivata n-esima si annullasse in x=0 per qualsiasi n.
Ho ricontrollato, e forse ora mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, posto qui le mie conclusioni sperando in qualche ulteriore suggerimento:
$(df(x))/dx = 2x^(-3)e^(-1/(x^2))$ per $x!=0$.
In $x=0$, possiamo definire la derivata prima per continuita' utilizzando il teorema di Darboux, essendo che il limite sinistro e destro della derivata in $x=0$ coincidono ( in particolare, $lim_(x->0^-)f^{\prime}(x)=0=lim_(x->0^+)f^{\prime}(x)$ ).
Calcolando le derivate successive, che non riporto per brevita', la storia si ripete (limite sinistro e destro nulli).
Quindi la serie di MacLaurin della funzione e' nulla nell'origine.
Dove sbaglio?
Grazie mille!
G
Il punto è che non stai sbagliando.
Come già detto da otta96, non stai sbagliando.
La serie di MacLaurin ha coefficienti tutti nulli (quindi converge banalmente alla funzione identicamente nulla).
D'altra parte, la tua funzione $f$ si annulla solo per $x=0$, quindi la serie di MacLaurin non converge a $f$ in alcun intorno di $x=0$.
Di conseguenza, $f$ non è analitica.
La serie di MacLaurin ha coefficienti tutti nulli (quindi converge banalmente alla funzione identicamente nulla).
D'altra parte, la tua funzione $f$ si annulla solo per $x=0$, quindi la serie di MacLaurin non converge a $f$ in alcun intorno di $x=0$.
Di conseguenza, $f$ non è analitica.
Grazie mille ad entrambi, mi ero concentrato sulla convergenza puntuale, tralasciando il fatto che dovesse convergere anche nell'intorno.
Buona giornata!
G
Buona giornata!
G
Poi le funzioni C infinito possono non essere analitiche per due motivi diversi, uno è che la serie di Taylor non converge alla funzione, ma a qualcos'altro (come nel nostro caso), oppure la serie di Taylor ha raggio di convergenza =0, questi sono casi più complicati, infatti io non ne conosco nemmeno un esempio (credo siano coinvolte le serie di Fourier).
"dissonance":
http://batmath.it/matematica/a_taylor/taylor.htm
Immagino tu abbia postato questo link per la voce "Un esempio complesso", mi hai fatto scoprire una cosa nuova molto bellina, e di questo ti ringrazio, ed è anche meno complicata di quanto pensassi.
Mi fa piacere. Tutti gli esempi di quel link sono fatti molto bene.
Tra l'altro ci sono anche cose molto più strane, dopotutto in ciò di cui si è parlato finora non funzionava l'analiticità solo in un punto, ma ci sono funzioni C infinito che non sono analitiche IN NESSUN PUNTO!!!!!!
E il bello è che non sono nemmeno poche, infatti formano un insieme di seconda categoria (nell'insieme delle C infinito)!!!
E il bello è che non sono nemmeno poche, infatti formano un insieme di seconda categoria (nell'insieme delle C infinito)!!!
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