Esempio di successione non convergente
Buongiorno a tutti.
Devo dare un esempio di successione reale $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tale che
$lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)=0$
che non ha limite $l \in \mathbb{R}$.
Ho pensato molto ingenuamente che se vale quel limite la successione dev'essere di Cauchy e quindi convergere in $\mathbb{R}$, ma evidentemente non è così. Quindi, perchè se vale quel limite la successione può non essere di Cauchy? Sapreste darmi un esempio?
Grazie
Devo dare un esempio di successione reale $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tale che
$lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)=0$
che non ha limite $l \in \mathbb{R}$.
Ho pensato molto ingenuamente che se vale quel limite la successione dev'essere di Cauchy e quindi convergere in $\mathbb{R}$, ma evidentemente non è così. Quindi, perchè se vale quel limite la successione può non essere di Cauchy? Sapreste darmi un esempio?
Grazie
Risposte
Beh l'esempio più semplice è $a_n=(-1)^n$...
Per la domanda su Cauchy basta confrontare le definizioni...
Quel limite afferma che
$$\forall \epsilon>0 \exists N\in\mathbb{N} : |a_{n+1}-a_n|<\epsilon \, , \, \forall n>N$$
mentre Cauchy afferma che
$$\forall \epsilon>0 \exists N\in\mathbb{N} : |a_{m}-a_n|<\epsilon \, , \, \forall n,m>N$$
E la prima non implica la seconda, al massimo la seconda implica la prima...
Riesci a vedere perché?
Per la domanda su Cauchy basta confrontare le definizioni...
Quel limite afferma che
$$\forall \epsilon>0 \exists N\in\mathbb{N} : |a_{n+1}-a_n|<\epsilon \, , \, \forall n>N$$
mentre Cauchy afferma che
$$\forall \epsilon>0 \exists N\in\mathbb{N} : |a_{m}-a_n|<\epsilon \, , \, \forall n,m>N$$
E la prima non implica la seconda, al massimo la seconda implica la prima...
Riesci a vedere perché?
Non mi pare che quella successione abbia come limite zero ...
"axpgn":
Non mi pare che quella successione abbia come limite zero ...
OH gesù hai ragione !!!
Ho confuso $-$ con $+$
L'esempio adatto è $a_n=1$ ... o qualunque altra successione costante hah hahaahahah
nella mia testa avevo letto
$$
\lim_{n\to +\infty}(a_{n+1}+a_n) =0
$$
E quello non è vero 
Quello che volevo dire è che se $a_n=(-1)^n$ allora $lim_(n->infty) (a_(n+1)-a_n) != 0$
EDIT: oops, hai corretto quindi adesso è vero quello che hai scritto
Quello che volevo dire è che se $a_n=(-1)^n$ allora $lim_(n->infty) (a_(n+1)-a_n) != 0$
EDIT: oops, hai corretto quindi adesso è vero quello che hai scritto
Eh si ho proprio avuto una svista grazie che l'hai fatto notare!
grazie che l'hai fatto notare!
\( a_n = \sum_{k=1}^n 1/k \).
"Bossmer":
L'esempio adatto è $a_n=1$ ... o qualunque altra successione costante hah hahaahahah
Ciao e grazie per la risposta. Perchè una successione costante, come $a_n=1$ va bene?
Direi che
$lim_{n\to \infty} a_n=1$ quindi esiste finito, o sbaglio?
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
\( a_n = \sum_{k=1}^n 1/k \).
Grazie, dopo averci pensato, avevo abbozzato anch'io questa soluzione.
Risolto, grazie a tutti!
"Zelda89":
[quote="Bossmer"]
L'esempio adatto è $a_n=1$ ... o qualunque altra successione costante hah hahaahahah
Ciao e grazie per la risposta. Perchè una successione costante, come $a_n=1$ va bene?
Direi che
$lim_{n\to \infty} a_n=1$ quindi esiste finito, o sbaglio?[/quote]
No infatti non va bene, ho fatto confusione col meno all'inizio, e infatti la prima successione sarebbe andata bene ma se fosse stato il limite col + ... L'ultimo esempio con la serie rimane quello più adatto
Potresti prendere (quasi) qualsiasi cosa che vada a $+oo$, ma molto lentamente.
Ad esempio, $a_n := log n$ funziona.
Ad esempio, $a_n := log n$ funziona.
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