Esempio di operatore positivo dens. definito ma NON limitato
Un piccolo aiuto, se qualcuno ha idee a riguardo.
Mi sono poc'anzi imbattuto in un teorema d'analisi funzionale che recita piu o meno
"Ogni operatore positivo ovunque definito e' limitato", e nella dimostrazione l'ipotesi di essere ovunque definito viene pesantemente usata.
Qualcuno riuscirebbe a darmi un controesempio piu o meno esplicito per mostrare che senza tale ipotesi e' possibile trovare un operatore densamente definito positivo ma non limitato?
Se manca l´ipotesi di positivita' il controesempio costruibile risulta parecchio artificioso e richiede l'assioma di scelta.
E' possibile togliendo invece l´ipotesi di essere ovunque definito il trovare qualcosa di piu' intuitivo?
Un grazie anticipato a tutti
P.S. La teoria sviluppata a riguardo viene contestualizzata negli spazi di Hilbert, quindi sarebbe ottimo trovare tale controesempio ancora in uno spazio di Hilbert
Mi sono poc'anzi imbattuto in un teorema d'analisi funzionale che recita piu o meno
"Ogni operatore positivo ovunque definito e' limitato", e nella dimostrazione l'ipotesi di essere ovunque definito viene pesantemente usata.
Qualcuno riuscirebbe a darmi un controesempio piu o meno esplicito per mostrare che senza tale ipotesi e' possibile trovare un operatore densamente definito positivo ma non limitato?
Se manca l´ipotesi di positivita' il controesempio costruibile risulta parecchio artificioso e richiede l'assioma di scelta.
E' possibile togliendo invece l´ipotesi di essere ovunque definito il trovare qualcosa di piu' intuitivo?
Un grazie anticipato a tutti
P.S. La teoria sviluppata a riguardo viene contestualizzata negli spazi di Hilbert, quindi sarebbe ottimo trovare tale controesempio ancora in uno spazio di Hilbert
Risposte
Nessun'idea?
Modificare opportunamente un qualche operatore noto? (e.g. qualche operatore differenziale di cui gia si conosce la non limitatezza e l'essere solo densamente definito? )
Modificare opportunamente un qualche operatore noto? (e.g. qualche operatore differenziale di cui gia si conosce la non limitatezza e l'essere solo densamente definito? )
"mattia90":
Qualcuno riuscirebbe a darmi un controesempio piu o meno esplicito per mostrare che senza tale ipotesi e' possibile trovare un operatore densamente definito positivo ma non limitato?
Se manca l´ipotesi di positivita' il controesempio costruibile risulta parecchio artificioso e richiede l'assioma di scelta.
E' possibile togliendo invece l´ipotesi di essere ovunque definito il trovare qualcosa di piu' intuitivo?
Ma guarda, con tutti gli operatori differenziali bene o male succede proprio così. Facciamo un esempio proprio classico: nello spazio di Hilbert \(L^2([-\pi, \pi])\) consideriamo l'operatore lineare \(\frac{d}{dx}\), definito sul sottospazio denso
\[D=\{f \in C^1([-\pi, \pi])\mid f(\pm \pi)=0.\}.\]
Questo operatore non è positivo (non è nemmeno simmetrico, figuriamoci) e non è limitato. Ad esempio la successione \(f_n(x)=\sin(nx)\) è nel suo dominio, è limitata (difatti \(\lVert f_n\rVert_2^2=\pi\) per ogni \(n\ge 1\)), ma
\[\frac{d}{dx}f_n(x)=n\cos(nx) \]
e \(\lVert n\cos(nx)\rVert_2\to +\infty\).
Se poi vuoi un esempio con un operatore positivo puoi prendere \(-\frac{d^2}{dx^2}\) e adattare il ragionamento fatto in questo post.
PS: Se vuoi un altro esempio prendi l'operatore \(-i\frac{d}{dx}\) sul dominio \(D\): è positivo, densamente definito e non limitato. La verifica di tutto ciò è del tutto analoga a quella che abbiamo condotto in questo post.
Preciso. Mi mancava il come "rendere positivo l'operatore" e non avevo per nulla pensato a fissare gli estremi del dominio.
Posso a questo punto, volendo "complicare le cose" prendere anche come dominio lo spazio $H_0^1(\Omega)$ denso in $L^2(\Omega)$ e come operatore $- \Delta$?
Grazie mille !
Posso a questo punto, volendo "complicare le cose" prendere anche come dominio lo spazio $H_0^1(\Omega)$ denso in $L^2(\Omega)$ e come operatore $- \Delta$?
Grazie mille !
"mattia90":
Posso a questo punto, volendo "complicare le cose" prendere anche come dominio lo spazio $H_0^1(\Omega)$ denso in $L^2(\Omega)$ e come operatore $- \Delta$?
Si, certo.
"mattia90":
Posso a questo punto, volendo "complicare le cose" prendere anche come dominio lo spazio $H_0^1(\Omega)$ denso in $L^2(\Omega)$ e come operatore $- \Delta$?
MMh.. aspetta un attimo però... Come lo definisci esplicitamente \(-\Delta\) su \(H_0^1(\Omega)\)? Il discorso di sopra vale pari pari se il dominio è \(H_0^2(\Omega)\), ma con \(H^1\) mi sa che la questione è più delicata.
mmm, in effetti.
Ma un'altra cosa che non mi e' chiara a questo punto e' il perche' nel dominio di definizione vado ad imporre quelle condizioni al contorno.
Il dominio di $ - \frac{d^2}{dx^2}$ non e' in generale qualcosa di piu grande?
Ma un'altra cosa che non mi e' chiara a questo punto e' il perche' nel dominio di definizione vado ad imporre quelle condizioni al contorno.
Il dominio di $ - \frac{d^2}{dx^2}$ non e' in generale qualcosa di piu grande?
"mattia90":
Ma un'altra cosa che non mi e' chiara a questo punto e' il perche' nel dominio di definizione vado ad imporre quelle condizioni al contorno.
Il dominio di $ - \frac{d^2}{dx^2}$ non e' in generale qualcosa di piu grande?
Questo è un punto delicato. Un operatore non limitato NON è definito solo dalla sua espressione analitica. E' parte integrante della definizione l'assegnazione di un dominio di definizione. Ecco perché spesso i matematici più rigorosi usano scritture come \((A, D(A))\), parlando dell'operatore \(A\) di dominio \(D(A)\). Per fare un esempio, gli operatori in \(L^2([-\pi, \pi])\)
\[\left( -\frac{d^2}{dx^2}, C^1([-\pi, \pi])\right), \quad \left( -\frac{d^2}{dx^2}, \{f\in C^1([-\pi, \pi]), f(\pm \pi)=0\}\right) \]
sono diversi. Vedi bene che la differenza è profonda perché il secondo operatore è simmetrico, ma il primo no.
Assolutamente chiarificante, grazie mille. Mi aveva tratto in inganno il pensare di dover avere un dominio che fosse in un qualche senso massimale.
Ad ogni modo posso abusare ancora un poco della tua competenza in materia per domandarti altre due cosucce?
1. Perche' vi e' necessita' di introdurre in $L^2$ il concetto di derivata forte accanto a quello di derivata tradizionale? Esiste un esempio di funzione che ammetta derivata classica in ogni punto ma non abbia mai derivata forte?
2. Dacche' ho capito, quando possibile, ad ogni elemento di $H^(1/2)(R)$ si fa corrispondere il relativo "rappresentante" tra le funzioni continue.
Esiste un esempio "facile" di elementi di tale spazio per il quale non sia possibile? Giusto per capire concretamente il "cosa c'è di più" in $H^(1/2)(R)$.
Grazie mille!
Ad ogni modo posso abusare ancora un poco della tua competenza in materia per domandarti altre due cosucce?
1. Perche' vi e' necessita' di introdurre in $L^2$ il concetto di derivata forte accanto a quello di derivata tradizionale? Esiste un esempio di funzione che ammetta derivata classica in ogni punto ma non abbia mai derivata forte?
2. Dacche' ho capito, quando possibile, ad ogni elemento di $H^(1/2)(R)$ si fa corrispondere il relativo "rappresentante" tra le funzioni continue.
Esiste un esempio "facile" di elementi di tale spazio per il quale non sia possibile? Giusto per capire concretamente il "cosa c'è di più" in $H^(1/2)(R)$.
Grazie mille!
Prego, ma evitiamo di andare off topic altrimenti si fa confusione. Se abbiamo finito di parlare di operatori positivi, densamente definiti, etc... , ovvero di quello che si legge nel titolo del thread, smettiamo di discutere qui. Per le tue nuove domande, che riguardano più che altro il concetto di derivata distribuzionale e gli spazi di Sobolev, apri un nuovo thread, con un titolo appropriato.
Grazie.
Grazie.
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