Esempio di funzione che non ha una derivata seconda.

[Antomus1]

Mi fate qualche esempio di funzione derivabile in un intervallo $(a,b)$ che però non ammette derivata seconda in tale intervallo (o in uno dei suoi punti)?

[yellow2]

$x|x|$ altresì detta $x^2sgn(x)$, in qualsiasi intervallo che contenga lo 0. La sua derivata infatti è $2|x|$.
Oppure la famosa:
$\{(x^2sin(1/x), x\ne0), (0, x=0):}$
che è derivabile con derivata addirittura discontinua (in 0).

[gugo82]

In realtà si potrebbe essere più drastici: infatti è possibile esibire una funzione di classe [tex]$C^1$[/tex] che non ha derivata seconda in alcun punto del suo insieme di definizione.

Ad esempio, sia [tex]$f(x)$[/tex] una funzione di tipo Weierstrass e poniamo:

[tex]$F(x):=\int_0^x f(t)\ \text{d} t$[/tex];

visto che [tex]$f(x)$[/tex] è continua la [tex]$F(x)$[/tex] è di classe [tex]$C^1$[/tex] ed ha [tex]$F^\prime (x)=f(x)$[/tex] (per il teorema fondamentale del calcolo integrale); tuttavia [tex]$f(x)$[/tex] non è derivabile in alcun punto, ergo [tex]$F(x)$[/tex] non ha derivata seconda da nessuna parte.

Uno potrebbe dire: Sì, vabbé, ma questo sarà un comportamento alquanto patologico... Insomma, non ne esisteranno così tante di funzioni tanto brutte!; invece questo è il "tipico" comportamento delle funzioni [tex]$C^1$[/tex], nel senso che "la maggior parte" delle funzioni [tex]$C^1$[/tex] non ha la derivata seconda da nessuna parte.*


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* Il virgolettato l'ho usato per sottolineare il fatto che i termini "tipico" e "la maggior parte" sono usati in un senso molto largo, che non posso spiegarvi ora ma che probabilmente incontrerete più in là nel corso dei vostri studi.