Esempi Serie di funzioni
Salve,
sto studiando analisi II ed in particolare mi ero soffermato allo studio della convergenza puntuale ed uniforme delle serie di funzioni, fourier e taylor.
Il problema è che sul marcellini sbordone gli esempi riportati sono un pò troppo banali in rapporto a quelli che escono ai nostri appelli o a quelli che sono riportati nelle dispense del nostr professore; tra l'altro sul marcelli-sbordone non ci sono nemmeno esempi di serie di fourier e taylor, ma solo quelli sulle serie di funzioni.
Il problema è che gli esercizi svolti sulle dispense del prof. sono troppo incasinati, difficili ed in alcuni punti mi appaiono proprio assurdi! senza contare che usa un metodo diverso ogni volta...
Mi chiedevo se qualcuno mi potesse dire se su internet si trovano dei pdf che contengono esercizi ( non banali ) con la relativa discussione... oppure non so... darmi qualke dritta per studiare la convergenza delle serie...
sto studiando analisi II ed in particolare mi ero soffermato allo studio della convergenza puntuale ed uniforme delle serie di funzioni, fourier e taylor.
Il problema è che sul marcellini sbordone gli esempi riportati sono un pò troppo banali in rapporto a quelli che escono ai nostri appelli o a quelli che sono riportati nelle dispense del nostr professore; tra l'altro sul marcelli-sbordone non ci sono nemmeno esempi di serie di fourier e taylor, ma solo quelli sulle serie di funzioni.
Il problema è che gli esercizi svolti sulle dispense del prof. sono troppo incasinati, difficili ed in alcuni punti mi appaiono proprio assurdi! senza contare che usa un metodo diverso ogni volta...
Mi chiedevo se qualcuno mi potesse dire se su internet si trovano dei pdf che contengono esercizi ( non banali ) con la relativa discussione... oppure non so... darmi qualke dritta per studiare la convergenza delle serie...
Risposte
eccovi alcuni esempi di serie che ci sono sulle dispense del prof:
le soluzioni ci sono, tranne per quelle della seconda img, solo che sono un pò troppo " complicate " ed adatta a chi studia matematica, credo
le soluzioni ci sono, tranne per quelle della seconda img, solo che sono un pò troppo " complicate " ed adatta a chi studia matematica, credo
vi posto un esercizio svolto...
non è che ci capisco molto quando inizia a fare sup e limiti...
ho sottolineato in rosso i passi che più mi lasciano perplesso, cioè come fa a fare il sup della serie in termini pratici ? poi che è n = N ? cioè l'indice N che cosa sarebbe ?
non è che ci capisco molto quando inizia a fare sup e limiti...
ho sottolineato in rosso i passi che più mi lasciano perplesso, cioè come fa a fare il sup della serie in termini pratici ? poi che è n = N ? cioè l'indice N che cosa sarebbe ?
In genere basta studiare i criteri di convergenza generale e poi applicarli.....
Su google ho trovato questo: (ma non ci sono le soluzioni)
http://www.imati.cnr.it/~savare/didatti ... ourier.pdf
Ho anche cercato esercizi sui siti delle universita' americane, ma quelli che ho trovato sono TROPPO facili...
Se non riesci a risolverne qualcuno puoi sempre chiedere....
Su google ho trovato questo: (ma non ci sono le soluzioni)
http://www.imati.cnr.it/~savare/didatti ... ourier.pdf
Ho anche cercato esercizi sui siti delle universita' americane, ma quelli che ho trovato sono TROPPO facili...
Se non riesci a risolverne qualcuno puoi sempre chiedere....
il problema sai qual è ?
che sin quando è un limite, una funzione o altro... uno di mette, risolve l'esercizio e poi più o meno riesce a capire se lo ha fatto bene o meno... con le serie invece non mi ci trovo proprio, cioè se non c'è la soluzione, io posso svolgerla tranquillamente, ma poi come faccio a sapere converge, in quale insieme compatto converge... se converge uniformemente o meno...
è un pò un casino
cmq sopra ho postato un esempio con la soluzione...
che sin quando è un limite, una funzione o altro... uno di mette, risolve l'esercizio e poi più o meno riesce a capire se lo ha fatto bene o meno... con le serie invece non mi ci trovo proprio, cioè se non c'è la soluzione, io posso svolgerla tranquillamente, ma poi come faccio a sapere converge, in quale insieme compatto converge... se converge uniformemente o meno...
è un pò un casino
cmq sopra ho postato un esempio con la soluzione...
cmq grazie per il pdf!!!
Si in effetti la soluzione del tuo prof. e' parecchio incasinata. In pratica si puo' sintetizzare (e capire) cosi':
SUM_n x / (1+x)^n = x SUM_n 1/(1+x)^n (x non dipende dall'indice e si porta fuori)
A questo punto uno si ricorda la serie geometrica (una delle poche che serve) e sa che questa converge se l'argomente e' minore di 1 (in modulo!) allora si ha la convergenza:
| 1/(1+x) | < 1
Da qui si trova (aggiungendo la considerazione che per x=0 il tutto e' identicamente nullo) il risultato.
Per il resto hai ragione: le questioni di convergenza delle serie possono essere molto complicate (la somma molto spesso non e' nemmeno nota) al contrario di problemi come fare un limite che possono essere quasi automatizzati. (quasi!!!)
L'unico consiglio che ti posso dare e' di studiare tutti i risultati che ci sono sul libro sulla convergenza di serie di funzioni (per le serie di Fourier la teoria e' piena di condizioni facilmente verificabili sulla funzione espansa senza bisogno di guardare la serie) e tutti i criteri. Per il resto le serie piu' importanti da sapere sono quelle geometrica (in primis!) poi quella del binomio di Newton poi l'esponenziale.
PS: Anche per le serie di potenze ci sono criteri comodi per stimare il raggio di convergenza:
Se conosci a priori la funzione il cui sviluppo di Laurent (o Mac-Laurin) corrisponde con la serie di potenze allora il raggio di convergenza e' uguale alla distanza dall'origine del primo polo della funzione (prolungata su C)...
SUM_n x / (1+x)^n = x SUM_n 1/(1+x)^n (x non dipende dall'indice e si porta fuori)
A questo punto uno si ricorda la serie geometrica (una delle poche che serve) e sa che questa converge se l'argomente e' minore di 1 (in modulo!) allora si ha la convergenza:
| 1/(1+x) | < 1
Da qui si trova (aggiungendo la considerazione che per x=0 il tutto e' identicamente nullo) il risultato.
Per il resto hai ragione: le questioni di convergenza delle serie possono essere molto complicate (la somma molto spesso non e' nemmeno nota) al contrario di problemi come fare un limite che possono essere quasi automatizzati. (quasi!!!)
L'unico consiglio che ti posso dare e' di studiare tutti i risultati che ci sono sul libro sulla convergenza di serie di funzioni (per le serie di Fourier la teoria e' piena di condizioni facilmente verificabili sulla funzione espansa senza bisogno di guardare la serie) e tutti i criteri. Per il resto le serie piu' importanti da sapere sono quelle geometrica (in primis!) poi quella del binomio di Newton poi l'esponenziale.
PS: Anche per le serie di potenze ci sono criteri comodi per stimare il raggio di convergenza:
Se conosci a priori la funzione il cui sviluppo di Laurent (o Mac-Laurin) corrisponde con la serie di potenze allora il raggio di convergenza e' uguale alla distanza dall'origine del primo polo della funzione (prolungata su C)...
ah meno male! concordi anche tu che la soluzione sia un pò incasinata no perchè pensavo di essere soltanto io lo scemo a non capire!
Son tutti risolti così gli esercizi
cmq grazie per le dritte, vedrò di concentrarmi sulle cose che mi hai detto... e fare il tutto il più semplice possibile, basandomi sulle serie giù note e su eventuali teoremi...
Grazie!
no perchè pensavo di essere soltanto io lo scemo a non capire!Son tutti risolti così gli esercizi
cmq grazie per le dritte, vedrò di concentrarmi sulle cose che mi hai detto... e fare il tutto il più semplice possibile, basandomi sulle serie giù note e su eventuali teoremi...
Grazie!
Ecco una considerazione da aggiungere al mio "riassunto" perche' sia corretto:
La serie geometrica converge puntualmente in (-1 1) ma uniformemente solo nei compatti (altrimenti il sup non e' limitato)! Comunque ribadisco il concetto: e' masochistico ridimostrarlo OGNI volta. Basta ricordarselo!
Scusami se non me ne sono accorto prima!
La serie geometrica converge puntualmente in (-1 1) ma uniformemente solo nei compatti (altrimenti il sup non e' limitato)! Comunque ribadisco il concetto: e' masochistico ridimostrarlo OGNI volta. Basta ricordarselo!
Scusami se non me ne sono accorto prima!
mm ok grazie david_e !!!
Spero il mio prof. sia della tua stessa opinione
Ciao!
Spero il mio prof. sia della tua stessa opinione
Ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo