Esempi di Funzioni Omogenee
Buongiorno a tutti,
mi servirebbe qualche esempio di funzione omogenea e soprattutto capire come verificare che lo sia e quale sia il suo grado. Ho trovato solo definizioni scarse in rete e sui libri di testo
per esempio, che grado hanno le seguenti funzioni e come faccio a dire che sono omogenee?
\(\displaystyle1. \frac{\lvert x^3y\rvert}{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle2. \frac{2\lvert x\rvert^3}{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle3. \frac{2\lvert x\rvert y^2}{x^2+y^2} \)
mi servirebbe qualche esempio di funzione omogenea e soprattutto capire come verificare che lo sia e quale sia il suo grado. Ho trovato solo definizioni scarse in rete e sui libri di testo
per esempio, che grado hanno le seguenti funzioni e come faccio a dire che sono omogenee?
\(\displaystyle1. \frac{\lvert x^3y\rvert}{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle2. \frac{2\lvert x\rvert^3}{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle3. \frac{2\lvert x\rvert y^2}{x^2+y^2} \)
Risposte
Se \(f : V \to W\) è una funzione tra \(K\)-spazi vettoriali, essa si dice omogenea di grado \(d\) se per ogni \(\lambda \in K\) si ha \(f(\lambda v) = \lambda^d f(v)\), per un intero \(d\in \mathbb N\) che si dice "grado" della funzione omogenea.
Puoi divertirti a dimostrare che se \(V=W=K[X_0,\dots, X_n]\) è un anello di polinomi nelle \(n+1\) indeterminate \(X_0,\dots, X_n\) allora l'insieme \(K[\underline X]_\text{h}\) delle funzioni polinomiali omogenee \(V \to K\) si identifica all'insieme dei polinomi omogenei, ossia di quei polinomi ogni monomio dei quali ha grado esattamente \(d\), al variare di \(d\in \mathbb N\).
Mostra anche che esiste una coppia di funzioni
- affineizzazione: \({\bf a}: K[\underline X]_\text{h} \to K[T_1,\dots,T_n]\) che manda \(p\) in \(p(1,T_1, \dots, T_n)\)
- omogeneizzazione: \({\bf h}:K[T_1,\dots, T_n]\to K[\underline X]_\text{h}\) che manda \(q\) in \(X_0^{\deg q} q\big(\frac{X_1}{X_0},\dots, \frac{X_n}{X_0}\big)\).
Puoi divertirti a dimostrare che se \(V=W=K[X_0,\dots, X_n]\) è un anello di polinomi nelle \(n+1\) indeterminate \(X_0,\dots, X_n\) allora l'insieme \(K[\underline X]_\text{h}\) delle funzioni polinomiali omogenee \(V \to K\) si identifica all'insieme dei polinomi omogenei, ossia di quei polinomi ogni monomio dei quali ha grado esattamente \(d\), al variare di \(d\in \mathbb N\).
Mostra anche che esiste una coppia di funzioni
- affineizzazione: \({\bf a}: K[\underline X]_\text{h} \to K[T_1,\dots,T_n]\) che manda \(p\) in \(p(1,T_1, \dots, T_n)\)
- omogeneizzazione: \({\bf h}:K[T_1,\dots, T_n]\to K[\underline X]_\text{h}\) che manda \(q\) in \(X_0^{\deg q} q\big(\frac{X_1}{X_0},\dots, \frac{X_n}{X_0}\big)\).
ciao e grazie per la risposta, ma ancora la questione non mi convince 
riusciresti a buttarla giù un po' più "pratica", magari utilizzando le funzioni che ho riportato come esempio?
riusciresti a buttarla giù un po' più "pratica", magari utilizzando le funzioni che ho riportato come esempio?
"malueli":
riusciresti a buttarla giù un po' più "pratica",
a parte il divagamento successivo, quando @killing_buddha ti ha dato la definizione è stato il massimo della praticità.
"killing_buddha":
Se $f:V→W$ è una funzione tra K-spazi vettoriali, essa si dice omogenea di grado d se per ogni $λ∈K$ si ha $f(λv)=λ^d f(v)$, per un intero $d∈N$ che si dice "grado" della funzione omogenea.
cosa vuol dire la scrittura $f(lambdav)$? prendi un vettore $v in V$ lo moltiplichi per $lambda$ e vedi cosa succede se lo dai in pasto alla funzione. nel tuo caso $v =(x,y)$.
faccio il primo esercizio che hai postato:
$(|x^3 y|)/(x^2 + y^2) rArr (AA lambda in RR) (|(lambda x)^3 (lambda y)|)/((lambda x)^2 + (lambda y)^2)= ...$
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