Esempi di funzioni integrabili

[davv1]

Salve,

una funzione è integrabile in [a,b] se:

1-continua in [a,b];
2-monotona in [a,b];
3-derivabile in [a,b] con derivata prima continua in [a,b];
4-limitata con solo un numero finito di discontinuità;
5-costante in [a,b].

giusto? (l'ha fatto a lezione il prof all'uni)...ora, sapete farmi un paio di esempi per ognuna di queste?

Grazie

[gugo82]

Prova a pensarli tu gli esempi... È abbastanza facile come esercizio.
Anzi, quello di pensare esempi e controesempi è un ottimo esercizio per valutare quanto davvero si sia capito di ciò che si sta studiando.

Credo che esempi per i casi 1, 3 e 5 non ti manchino da sotto gli occhi ogni giorno; per i casi 2 e 4, tanto per dire, potresti pensare a qualche funzione costante a tratti, monotona nel primo caso, non monotona nel secondo.

[davv1]

ok, a dirla tutta 4 esempi su 5 li sapevo già, era di sicurezza

per quanto riguarda il punto 4 invece non c'ho proprio idea, cmq...

1-y=cosx o y=sinx
2-y=x
3-y=x^2
4-???
5-y=4

giusto? la quarta non la so

[gugo82]

Te l'ho detto... Prova a pensare ad una funzione costante a tratti: ad esempio in $[0,1]$, una funzione che assume un valore costante $y_1$ in $[0,1/3]$, un altro valore costante $y_2$ in $]1/3,2/3]$, ed ancora un altro $y_3$ in $]2/3,1]$.

Per quanto riguarda 2, pur essendo corretta la risposta, essa rientra nella casistica 1; quindi il consiglio è scrivere una funzione monotona che non sia continua (puoi usare la stessa idea di prima solo che i valori $y_1,y_2,y_3$ li devi scegliere bene in modo da ottenere una funzione o crescente o decrescente).

Se posso, mi permetto di darti un consiglio da tener presente durante la tua permanenza su questo foro: visto che la finalità del forum non è quella di risolvere esercizi, quando poni una domanda cerca sempre di dire anche a che punto della soluzione sei arrivato (oppure che strada hai tentato).
In questo caso, ad esempio, avresti potuto subito dire come avevi risposto agli altri quesiti e che il problema era solo nel 4.

Buono studio.

[davv1]

certo, grazie mille