Esempi di continuità non uniforme
Buongiorno a tutti.
Sono a metà del primo anno di Matematica, e mi son reso conto di avere serie lacune sulla continuità uniforme.
Heine-Cantor mi mette al sicuro per le funzioni continue su intervalli chiusi e limitati, ma non sono sicuro di saper dimostrare dei controesempi, ovvero che una data funzione non sia uniformemente continua.
Da quel che son riuscito ad estrapolare dalla definizione, per dimostrare la continuità uniforme di una funzione, fissato un $\epsilon >0$, dovremmo essere in grado di trovare un punto $x_0$ il cui intorno $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ (avente per immagine un intorno $(y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)$) sia il più piccolo intorno $I_\delta (x)$ tale che $f(I_\delta (x))$ abbia raggio $\epsilon$.
Questo significa che ogni funzione, diciamo, continua in $[a,b)$ con un asintoto verticale in $x=b$ non è u.c.?
Lo stesso sembra valere per la funzione esponenziale, a meno di limitazioni del dominio. Mi sbaglio?
Ma soprattutto, come dimostrare la non-continuità?
Grazie per l'attenzione!
Sono a metà del primo anno di Matematica, e mi son reso conto di avere serie lacune sulla continuità uniforme.
Heine-Cantor mi mette al sicuro per le funzioni continue su intervalli chiusi e limitati, ma non sono sicuro di saper dimostrare dei controesempi, ovvero che una data funzione non sia uniformemente continua.
Da quel che son riuscito ad estrapolare dalla definizione, per dimostrare la continuità uniforme di una funzione, fissato un $\epsilon >0$, dovremmo essere in grado di trovare un punto $x_0$ il cui intorno $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ (avente per immagine un intorno $(y_0-\epsilon,y_0+\epsilon)$) sia il più piccolo intorno $I_\delta (x)$ tale che $f(I_\delta (x))$ abbia raggio $\epsilon$.
Questo significa che ogni funzione, diciamo, continua in $[a,b)$ con un asintoto verticale in $x=b$ non è u.c.?
Lo stesso sembra valere per la funzione esponenziale, a meno di limitazioni del dominio. Mi sbaglio?
Ma soprattutto, come dimostrare la non-continuità?
Grazie per l'attenzione!
Risposte
Un modo potrebbe essere quello di studiare, quando possibile, il modulo di continuità uniforme di \(f\): posto \[B_f (\delta) = \{|f(x) - f(y)| \, : \, x,y \in A, \ |x-y| \le \delta \} \quad \text{per} \quad \delta \ge 0 \]definisco il modulo di continuità uniforme di \(f\) come \[\varphi_f (\delta) = \sup B_f (\delta) \]
Si può mostrare che se \(f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) è una funzione, allora essa è uniformemente continua sse \[\lim_{\delta \to 0^{+}} \varphi_f (\delta)=0\]
Si può mostrare che se \(f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) è una funzione, allora essa è uniformemente continua sse \[\lim_{\delta \to 0^{+}} \varphi_f (\delta)=0\]
Se assumi l'uniforme continuità puoi dedurre necessariamente alcune proprietà. E' chiaro che se queste proprietà non sussistono per una data funzione, questa NON può essere uniformemente continua. Di risultati di questo tipo ce ne sono svariati; giusto per riportarne un paio importanti: teorema della farfalla oppure il fatto che una funzione u.c. mandi successioni di Cauchy in successioni di Cauchy.
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