Esempi di applicazione del teorema ponte
Salve!
Studiando analisi mi sono imbattuto in questa domanda: dare almeno un esempio di applicazione del teorema ponte in R.
Ho consultato diversi libri ma, in tutti, ho solo trovato l'enunciato del teorema e la sua dimostrazione.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo!
Studiando analisi mi sono imbattuto in questa domanda: dare almeno un esempio di applicazione del teorema ponte in R.
Ho consultato diversi libri ma, in tutti, ho solo trovato l'enunciato del teorema e la sua dimostrazione.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Quel teorema serve per poter trasferire ai limiti di funzioni tutti i risultati riguardanti i limiti di successioni: unicità del limite, confronto di ogni tipo ecc.
E un esempio "pratico" di applicazione del teorema in R quale potrebbe essere? Non me ne viene in mente nemmeno uno.
Te ne ho già scritti almeno 4, se ne vuoi solo uno prendi l'unicità del limite.
Il teorema ponte ti dice che $lim_(x->x_0) f(x) = l$ $<=>$ per ogni ${x_n}$ convergente a $x_0$ (tale che $x_n != x_0$ per ogni $n$ e tale che i valori della successione stiano sempre nell'insieme di def della $f$) $lim_(n->+oo) f(x_n) =l$.
Quest'ultimo è un limite di successione, a cui puoi applicare, per esempio, il teorema di unicità del limite, di conseguenza l'unicità del limite vale anche per i limiti di funzioni. Ti sei mai chiesto perchè lo chiamino teorema ponte?
Il teorema ponte ti dice che $lim_(x->x_0) f(x) = l$ $<=>$ per ogni ${x_n}$ convergente a $x_0$ (tale che $x_n != x_0$ per ogni $n$ e tale che i valori della successione stiano sempre nell'insieme di def della $f$) $lim_(n->+oo) f(x_n) =l$.
Quest'ultimo è un limite di successione, a cui puoi applicare, per esempio, il teorema di unicità del limite, di conseguenza l'unicità del limite vale anche per i limiti di funzioni. Ti sei mai chiesto perchè lo chiamino teorema ponte?
Lo chiamano teorema ponte perché permette di passare dal limite per successioni al limite per funzioni.
Scusa la domanda: il secondo limite che hai scritto tende a l o a L (come il primo)?
Grazie e scusa ancora per il disturbo!
Scusa la domanda: il secondo limite che hai scritto tende a l o a L (come il primo)?
Grazie e scusa ancora per il disturbo!
Scusa ho sbagliato, dovevano essere la stessa L ovviamente! Correggo al volo.
Comunque ora hai capito le sue applicazioni no? Operativamente non è che mentre fai gli esercizi lo applichi direttamente, però applichi, per esempio, il criterio del confronto asintotico grazie a quel teorema.
Comunque ora hai capito le sue applicazioni no? Operativamente non è che mentre fai gli esercizi lo applichi direttamente, però applichi, per esempio, il criterio del confronto asintotico grazie a quel teorema.
"Giuly19":
Operativamente non è che mentre fai gli esercizi lo applichi direttamente
Beh, non è detto. Può servire per esempio quando bisogna dimostrare che un certo limite non esiste.
Hai voglia di scrivere bene l'esempio?
Mi sfugge il senso della tua affermazione.
Mi sfugge il senso della tua affermazione.
$\lim_(x \to +\infty) sin(x)$ per esempio.
Se il limite esistesse e fosse $l$, per qualsiasi successione divergente $x_n$ dovrebbe aversi $lim_(n \to +\infty) sin(x_n) = l$ (teorema ponte).
Ma in particolare: $lim_(n \to +\infty) sin(2 n pi) = 0 \ne lim_(n \to +\infty) sin(2 n pi + pi/2) = 1$
ciò che è assurdo per il teorema di unicità del limite.
Se il limite esistesse e fosse $l$, per qualsiasi successione divergente $x_n$ dovrebbe aversi $lim_(n \to +\infty) sin(x_n) = l$ (teorema ponte).
Ma in particolare: $lim_(n \to +\infty) sin(2 n pi) = 0 \ne lim_(n \to +\infty) sin(2 n pi + pi/2) = 1$
ciò che è assurdo per il teorema di unicità del limite.
Ringrazio entrambi per le risposte!
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