Esattezza Forma Differenziale
Ciao ragazzi, mi date una mano ad impostare questo esercizio...?
Il problema è che non essendo il dominio un semplicemente connesso non so come muovermi per dimostrarne l'esattezza........
Grazie a tutti in anticipo...
Luigi
Il problema è che non essendo il dominio un semplicemente connesso non so come muovermi per dimostrarne l'esattezza........
Grazie a tutti in anticipo...
Luigi
Risposte
allora prima di tutto verifichi che w sia chiusa in quanto è una condizione necessaria, il che significa in questo caso verificare che:
$ (partial F_1)/(partial y) = (partial F_1)/(partial y) $
e lo è perchè risulta : $ (-4xy)/(x^2+y^2)^2=(-4xy)/(x^2+y^2)^2 $
il dominio non è semplice e connesso in quanto in (0,0) c'è un buco, quindi non possiamo utilizzare il criterio sufficiente! Ma riportiamoci alla definizione:
una forma differenziale si definsce esatta in D se esiste una funzione potenziale $ f(x,y)inC' : df=w $.
In altri termini si è vero che questa forma differenziale non è esatta nel su dominio ma lo è ad esempio in $ A:{AA (x,y)inR^2 : x>0 } $.
Per la dimostrazione con GG è sufficiente che ti prendi una circonferenza del tipo : $ x^2+y^2=r^2 $ con r>0 e quindi dal momento che w è esatta ti risulterà : $ int_(gamma )^() w =0 $
$ (partial F_1)/(partial y) = (partial F_1)/(partial y) $
e lo è perchè risulta : $ (-4xy)/(x^2+y^2)^2=(-4xy)/(x^2+y^2)^2 $
il dominio non è semplice e connesso in quanto in (0,0) c'è un buco, quindi non possiamo utilizzare il criterio sufficiente! Ma riportiamoci alla definizione:
una forma differenziale si definsce esatta in D se esiste una funzione potenziale $ f(x,y)inC' : df=w $.
In altri termini si è vero che questa forma differenziale non è esatta nel su dominio ma lo è ad esempio in $ A:{AA (x,y)inR^2 : x>0 } $.
Per la dimostrazione con GG è sufficiente che ti prendi una circonferenza del tipo : $ x^2+y^2=r^2 $ con r>0 e quindi dal momento che w è esatta ti risulterà : $ int_(gamma )^() w =0 $
"MasterCud":perfetto, quindi devo fare solo questo, grazie 1000
allora prima di tutto verifichi che w sia chiusa in quanto è una condizione necessaria, il che significa in questo caso verificare che:
$ (partial F_1)/(partial y) = (partial F_1)/(partial y) $
e lo è perchè risulta : $ (-4xy)/(x^2+y^2)^2=(-4xy)/(x^2+y^2)^2 $
il dominio non è semplice e connesso in quanto in (0,0) c'è un buco, quindi non possiamo utilizzare il criterio sufficiente! Ma riportiamoci alla definizione:
una forma differenziale si definsce esatta in D se esiste una funzione potenziale $ f(x,y)inC' : df=w $.
In altri termini si è vero che questa forma differenziale non è esatta nel su dominio ma lo è ad esempio in $ A:{AA (x,y)inR^2 : x>0 } $.
Per la dimostrazione con GG è sufficiente che ti prendi una circonferenza del tipo : $ x^2+y^2=r^2 $ con r>0 e quindi dal momento che w è esatta ti risulterà : $ int_(gamma )^() w =0 $
ragazzi scusatemi.....credo di avere una lacuna importante in questo argomento.......come faccio a calcolare l'integrale della forma differenziale sulla circonferenza x^2 + y^2 = 1 ...?
allora la circonferenza è una curva regolare parametrizzabile nel seguente modo:
$ gamma { ( x=rcostheta ),( y=rsintheta ):} $
in quanto regolare è di classe $ C^1 $ vale:
$ gamma' { ( x'=-rsintheta ),( y'=rcostheta ):} $
dove nel tuo caso r=1
bè a questo punto non devi fare altro che sostituire e quindi:
$ int_(0)^(2pi) -2costhetasintheta+2costhetasintheta+costheta $
e il risultato è chiaramente zero, ti sono chiari i passaggi?? ho saltato un pò di step intermedi
$ gamma { ( x=rcostheta ),( y=rsintheta ):} $
in quanto regolare è di classe $ C^1 $ vale:
$ gamma' { ( x'=-rsintheta ),( y'=rcostheta ):} $
dove nel tuo caso r=1
bè a questo punto non devi fare altro che sostituire e quindi:
$ int_(0)^(2pi) -2costhetasintheta+2costhetasintheta+costheta $
e il risultato è chiaramente zero, ti sono chiari i passaggi?? ho saltato un pò di step intermedi
"MasterCud":innanzitutto grazie ancora per il tempo che mi stai dedicando! per il resto.....è chiarissima la parametrizzazione, ma non riesco a trovarmi con la sostituzione dei valori nell'integrale...insomma....non so come muovermi subito dopo la parametrizzazione....
allora la circonferenza è una curva regolare parametrizzabile nel seguente modo:
$ gamma { ( x=rcostheta ),( y=rsintheta ):} $
in quanto regolare è di classe $ C^1 $ vale:
$ gamma' { ( x'=-rsintheta ),( y'=rcostheta ):} $
dove nel tuo caso r=1
bè a questo punto non devi fare altro che sostituire e quindi:
$ int_(0)^(2pi) -2costhetasintheta+2costhetasintheta+costheta $
e il risultato è chiaramente zero, ti sono chiari i passaggi?? ho saltato un pò di step intermedi
allora tu devi risolverti il seguente integrale curvilineo:
$ int_(gamma)^() F_1 dx+F_2dx $
ti faccio tutti i passaggi:
$ int_(0)^(2pi) 2costheta/(cos^2theta+sin^2theta) (-sintheta)+(2(sintheta)/(cos^2theta+sin^2theta)+1)(costheta) $
dove ho sostituito corrispettivi valori di x e y , e dx=x' e dy=y' presi pari pari dalle parametrizzazioni di prima.
$ int_(gamma)^() F_1 dx+F_2dx $
ti faccio tutti i passaggi:
$ int_(0)^(2pi) 2costheta/(cos^2theta+sin^2theta) (-sintheta)+(2(sintheta)/(cos^2theta+sin^2theta)+1)(costheta) $
dove ho sostituito corrispettivi valori di x e y , e dx=x' e dy=y' presi pari pari dalle parametrizzazioni di prima.
"MasterCud":perfetto.....grazie 1000!!!
allora tu devi risolverti il seguente integrale curvilineo:
$ int_(gamma)^() F_1 dx+F_2dx $
ti faccio tutti i passaggi:
$ int_(0)^(2pi) 2costheta/(cos^2theta+sin^2theta) (-sintheta)+(2(sintheta)/(cos^2theta+sin^2theta)+1)(costheta) $
dove ho sostituito corrispettivi valori di x e y , e dx=x' e dy=y' presi pari pari dalle parametrizzazioni di prima.
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