Esattezza e teorema di Stokes
Ciao,
stavo riflettendo un attimo su ciò che segue, mi piacerebbe avere un vostro feedback:
Sia $A$ aperto di $RR^n$, $omega:A->L(A->RR^n)$ una forma differenziale lineare univocamente associata a un campo di vettori $vec F:A->A$.
Sappiamo ovviamente che $omega text{ esatta} => omega text{ chiusa}$.
Il teorema di Stokes nella sua forma più semplice, ovvero il teorema del rotore afferma che: $AA Sigma text { superficie s-ammissibile}:$$int_(Sigma)ds_2=oint_(gamma=partialSigma)ds_1$.
Supponiamo che il campo sia irrotazionale allora sicuramente $AA Sigma text { superficie s-ammissibile}:int_(Sigma)ds_2=0$.
Tuttavia la circuitazione è nulla solo per curve coincidenti con il bordo delle sole superfici $text{s-ammissibili}$ e quindi non per tutte le curve $gammasubRR^n$, altrimenti si avrebbe un assurdo.
Dall'altra parte invece se $AA gamma sub RR^n$ la circuitazione lungo $gamma$ è nulla allora lo è sicuramente anche per le curve coincidenti con i bordi delle superficie $text{s-ammissibili}$.
Grazie in anticipo
stavo riflettendo un attimo su ciò che segue, mi piacerebbe avere un vostro feedback:
Sia $A$ aperto di $RR^n$, $omega:A->L(A->RR^n)$ una forma differenziale lineare univocamente associata a un campo di vettori $vec F:A->A$.
Sappiamo ovviamente che $omega text{ esatta} => omega text{ chiusa}$.
Il teorema di Stokes nella sua forma più semplice, ovvero il teorema del rotore afferma che: $AA Sigma text { superficie s-ammissibile}:$$int_(Sigma)
Supponiamo che il campo sia irrotazionale allora sicuramente $AA Sigma text { superficie s-ammissibile}:int_(Sigma)
Tuttavia la circuitazione è nulla solo per curve coincidenti con il bordo delle sole superfici $text{s-ammissibili}$ e quindi non per tutte le curve $gammasubRR^n$, altrimenti si avrebbe un assurdo.
Dall'altra parte invece se $AA gamma sub RR^n$ la circuitazione lungo $gamma$ è nulla allora lo è sicuramente anche per le curve coincidenti con i bordi delle superficie $text{s-ammissibili}$.
Grazie in anticipo
Risposte
Non so se ho capito la domanda (quale domanda?).
Il teorema di Stokes può essere usato per dimostrare che un campo irrotazionale su un sottoinsieme aperto di \(\mathbb{R}^3\) semplicemente connesso è conservativo.
Come è noto, questa è solo una condizione sufficiente; da qui segue che le due condizioni non sono equivalenti.
Il teorema di Stokes può essere usato per dimostrare che un campo irrotazionale su un sottoinsieme aperto di \(\mathbb{R}^3\) semplicemente connesso è conservativo.
Come è noto, questa è solo una condizione sufficiente; da qui segue che le due condizioni non sono equivalenti.
Scusa ma nelle ipotesi di Stokes $Sigma$ deve essere necessariamente un semplicemente connesso ?
Nelle ipotesi del teorema di Stokes devi avere una superficie con bordo. Se il dominio \(\Omega\subset\mathbb{R}^3\) è un aperto semplicemente connesso, data una curva chiusa \(\gamma\) in \(\Omega\) riesci sempre a costruire una superficie \(\Sigma\) in \(\Omega\) che abbia \(\gamma\) come bordo. Se il dominio non è semplicemente connesso non è detto che questo si possa fare (pensa ad esempio a cosa succede se \(\Omega\) è \(\mathbb{R}^3\) privato dell'asse \(z\) e \(\gamma\) è una curva chiusa che fa un giro attorno all'asse \(z\)).
Perfetto,
il mio dubbio è quindi questo:
visto che il teorema di Stokes è valido solo per una certa classe di superfici (che il Pagani-Salsa chiama $text{s-ammissibili}$) (in questa classe sono comprese quelle semplicemente connesse), il fatto che il campo sia irrotazionale implica che la circuitazione del campo sia nulla solo per le curve $gamma$ che sono bordo delle superfici appartenenti a questa classe.
Proprio per il fatto che la circuitazione non sia nulla lungo tutte le curve possibili ma solo su alcune è provato ancora una volta il fatto che la chiusura di una forma differenziale è una condizione unicamente necessaria per la sua esattezza.
il mio dubbio è quindi questo:
visto che il teorema di Stokes è valido solo per una certa classe di superfici (che il Pagani-Salsa chiama $text{s-ammissibili}$) (in questa classe sono comprese quelle semplicemente connesse), il fatto che il campo sia irrotazionale implica che la circuitazione del campo sia nulla solo per le curve $gamma$ che sono bordo delle superfici appartenenti a questa classe.
Proprio per il fatto che la circuitazione non sia nulla lungo tutte le curve possibili ma solo su alcune è provato ancora una volta il fatto che la chiusura di una forma differenziale è una condizione unicamente necessaria per la sua esattezza.
Esatto. (Non ho capito quale sia il dubbio.)
Il dubbio era sul mio ragionamento 
Ti ringrazio tanto Rigel.
Ti ringrazio tanto Rigel.
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