Esattezza e primitiva di una forma differenziale
Salve a tutti, eccomi di nuovo qui a chiedere il vostro aiuto 
avrei un dubbio sull'esattezza di forme differenziali chiuse .
So che se il domionio della forma differenziale è semplicemente connesso per il lemma di Poincaré la forma differenziale è esatta, ma se il dominio non è semplicemente connesso? Come dovrei fare?
Io di solito procedevo andando a trovare una primitiva e se esisteva allora la forma era esatta, ma mi sono imbattuta in un esercizio dove la primitiva esiste ma dal risultato la forma risulta non esatta.
Ecco l'esercizio:
W= (x-y) /(x^2+y^2) dx + (x+y) /(x^2+y^2)dy
Ho trovato che la forma è chiusa, ma l'aperto non è semplicemente connesso quindi ho calcolato la primitiva che è uguale a :
F(x) = 1/2 ln(x^2+y^2) - arctg (x/y) + k
Su internet però, risolvendo l'integrale curvilineo lungo una curva che racchiude il punto (0;0) viene che la forma non è esatta.
Allora vorrei sapere
- è sbagliato capire l'esattezza trovando una primitiva? E se no perché il mio risultato non coincide con quello dell' esercizio?
- se è sbagliato il mio metodo come devo procedere? Devo per forza trovare una curva che racchiuda il punto "critico" e calcolare l'integrale curvilineo esteso a quella curva?
Grazie a chiunque mi aiuterà
avrei un dubbio sull'esattezza di forme differenziali chiuse .
So che se il domionio della forma differenziale è semplicemente connesso per il lemma di Poincaré la forma differenziale è esatta, ma se il dominio non è semplicemente connesso? Come dovrei fare?
Io di solito procedevo andando a trovare una primitiva e se esisteva allora la forma era esatta, ma mi sono imbattuta in un esercizio dove la primitiva esiste ma dal risultato la forma risulta non esatta.
Ecco l'esercizio:
W= (x-y) /(x^2+y^2) dx + (x+y) /(x^2+y^2)dy
Ho trovato che la forma è chiusa, ma l'aperto non è semplicemente connesso quindi ho calcolato la primitiva che è uguale a :
F(x) = 1/2 ln(x^2+y^2) - arctg (x/y) + k
Su internet però, risolvendo l'integrale curvilineo lungo una curva che racchiude il punto (0;0) viene che la forma non è esatta.
Allora vorrei sapere
- è sbagliato capire l'esattezza trovando una primitiva? E se no perché il mio risultato non coincide con quello dell' esercizio?
- se è sbagliato il mio metodo come devo procedere? Devo per forza trovare una curva che racchiuda il punto "critico" e calcolare l'integrale curvilineo esteso a quella curva?
Grazie a chiunque mi aiuterà
Risposte
Quella primitiva che hai trovato non è definita su tutto \(\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\). Che succede per \(y=0\)? Ecco perché non puoi usarla per calcolare l'integrale lungo nessun cammino che racchiude l'origine.
Riallacciandomi a quanto detto da dissonance, un giorno che ti annoi puoi leggerti questa discussione:
viewtopic.php?f=36&t=167849
Aggiungo che, anche per il tuo esempio, vale quel che dicevo in quella discussione (ovviamente nel tuo caso l'elemento di disturbo è un altro):
viewtopic.php?f=36&t=167849
Aggiungo che, anche per il tuo esempio, vale quel che dicevo in quella discussione (ovviamente nel tuo caso l'elemento di disturbo è un altro):
"Fioravante Patrone":
Il campo vettoriale dato, a parte l'elemento di disturbo (che il prof/libro ci ha messo apposta per cercare disperatamente di intorbidare un po' le acque) dato da $1/(x+2)$, è il campo magnetico generato da un filo rettilineo indefinito.
Si sa che non è conservativo, anche se è irrotazionale. Si sa anche che una sua primitiva vorrebbe essere $\theta$ (sì, quella delle coordinate polari), peccato che non si salda bene se si fa un giro completo. Ma basta escludere una semiretta e tutto è soave (come diceva Caffarelli).
Queste cose sono studiate alla nausea, persino su wikipedia si trova 'sta roba:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_d ... cartesiane
Allora se considero y=0 per F (x,y) avrei un problema con l' argomento dell'arcotangente.
Quindi se ho capito bene per verificare l'esattezza tramite una primitiva quest'ultima deve essere definita nello stesso insieme di definizione della forma differenziale iniziale.
Quindi se ho capito bene per verificare l'esattezza tramite una primitiva quest'ultima deve essere definita nello stesso insieme di definizione della forma differenziale iniziale.
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