[Esame]Limiti e Successioni
Salve ragazzi sono nuovo del forum e mi sono iscritto sperando di trovare un aiuto nel mare d'ignoranza(specialmente mia XD) che circonda la matematica.
Oggi ho svolto un esame ed uscendo i risultati dopo pasqua sono curioso di sapere cosa ho combinato,vi espongo quindi gli esercizi(sperando che non siate troppo malvagi nel farmi notare gli errori che saranno copiosi XD):
1)Il primo esercizio chiedeva di indicare limite,sup e inf di una serie:
$9/(n)^2$
Io ho concluso,dopo l'utilizzo del criterio del rapporto,che:
-il limite tende a $0$
-il sup è $1+sqrt(5)/2$ che è anche Max
-l'inf è $0$ che non è Min
2)poi c'era una disequazione:
$sqrt(x^2 +x -6)
Dopo il sistema ho concluse che il campo di valori era: $[2;6)$
3)qui si trattava di un limite:
$[4*root(3)(n+1) -sin(n^n) +7log(n^11)] / [-log(n^11) +e^-n +cos(n!) -root(3)(n)]$
Ho concluso che essendo asintotico a $[4*root(3)(n)]/[-root(3)(n)]$ il limite tende a $-4$
4)infine un altro limite:
${ [sqrt(n)+4] / [sqrt(n)] }^sqrt(n)$ che ho concluso asintotico a ${ [sqrt(n)] / [sqrt(n)] }^sqrt(n)$ e quindi tendente a $1$.
Spero che la mia richiesta non sia troppo tediosa o peggio fuori regolamento,ringrazio anticipatamente tutti quei santi che avranno voglia di farmi la ramanzina.
EDIT:ho visto adesso il fantastico script java per le formule,cercherò di convertirle ute per quanto riesco XD
Oggi ho svolto un esame ed uscendo i risultati dopo pasqua sono curioso di sapere cosa ho combinato,vi espongo quindi gli esercizi(sperando che non siate troppo malvagi nel farmi notare gli errori che saranno copiosi XD):
1)Il primo esercizio chiedeva di indicare limite,sup e inf di una serie:
$9/(n)^2$
Io ho concluso,dopo l'utilizzo del criterio del rapporto,che:
-il limite tende a $0$
-il sup è $1+sqrt(5)/2$ che è anche Max
-l'inf è $0$ che non è Min
2)poi c'era una disequazione:
$sqrt(x^2 +x -6)
Dopo il sistema ho concluse che il campo di valori era: $[2;6)$
3)qui si trattava di un limite:
$[4*root(3)(n+1) -sin(n^n) +7log(n^11)] / [-log(n^11) +e^-n +cos(n!) -root(3)(n)]$
Ho concluso che essendo asintotico a $[4*root(3)(n)]/[-root(3)(n)]$ il limite tende a $-4$
4)infine un altro limite:
${ [sqrt(n)+4] / [sqrt(n)] }^sqrt(n)$ che ho concluso asintotico a ${ [sqrt(n)] / [sqrt(n)] }^sqrt(n)$ e quindi tendente a $1$.
Spero che la mia richiesta non sia troppo tediosa o peggio fuori regolamento,ringrazio anticipatamente tutti quei santi che avranno voglia di farmi la ramanzina.
EDIT:ho visto adesso il fantastico script java per le formule,cercherò di convertirle ute per quanto riesco XD
Risposte
1) Sei sicuro parlasse di serie? Perché se l'esercizio richiedeva di calcolare questa roba per la serie
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{n^2}$
allora devo darti una brutta notizia: probabilmente ciò che si richiedeva era determinare i punti estremali della successione $s_N=\sum_{n=1}^N\frac{9}{n^2}$ e risulta, essendo $s_{N+1}> s_N$, sup $s_N=3/2 \pi^2$ che non è Max e inf $s_n=9=\min s_N$. Però può darsi che io abbia capito male la tua richiesta.
Se invece l'esercizio richiedeva di determinare i punti estremali per la successione $\{a_n=9/n^2\}$ allora si ha sup $a_n=\max\ a_n=9$ e inf $a_n=0$ che non è un minimo (la successione decresce a zero poiché $a_n> a_{n+1}$.)
2) Giusto!
3) Giusto anche questo (anche se forse se spieghi come sei arrivato a quel confronto asintotico sarebbe meglio!)
4) Sbagliato: per risolvere questo limite devi usare il limite notevole $\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{k}{n})^{hn}=e^{kh}$, da cui
$\lim_{n\rightarrow+\infty}(\frac{4+\sqrt{n}}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{4}{\sqrt{n}})^\sqrt{n}=e^4$.
Ramanzine da fare non credo ce ne siano, spero solo di non spingerti a fare gesti inconsulti con questa mia risposta!
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{n^2}$
allora devo darti una brutta notizia: probabilmente ciò che si richiedeva era determinare i punti estremali della successione $s_N=\sum_{n=1}^N\frac{9}{n^2}$ e risulta, essendo $s_{N+1}> s_N$, sup $s_N=3/2 \pi^2$ che non è Max e inf $s_n=9=\min s_N$. Però può darsi che io abbia capito male la tua richiesta.
Se invece l'esercizio richiedeva di determinare i punti estremali per la successione $\{a_n=9/n^2\}$ allora si ha sup $a_n=\max\ a_n=9$ e inf $a_n=0$ che non è un minimo (la successione decresce a zero poiché $a_n> a_{n+1}$.)
2) Giusto!
3) Giusto anche questo (anche se forse se spieghi come sei arrivato a quel confronto asintotico sarebbe meglio!)
4) Sbagliato: per risolvere questo limite devi usare il limite notevole $\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{k}{n})^{hn}=e^{kh}$, da cui
$\lim_{n\rightarrow+\infty}(\frac{4+\sqrt{n}}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{4}{\sqrt{n}})^\sqrt{n}=e^4$.
Ramanzine da fare non credo ce ne siano, spero solo di non spingerti a fare gesti inconsulti con questa mia risposta!
"ciampax":
1) Sei sicuro parlasse di serie? Perché se l'esercizio richiedeva di calcolare questa roba per la serie
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{n^2}$
allora devo darti una brutta notizia: probabilmente ciò che si richiedeva era determinare i punti estremali della successione $s_N=\sum_{n=1}^N\frac{9}{n^2}$ e risulta, essendo $s_{N+1}> s_N$, sup $s_N=3/2 \pi^2$ che non è Max e inf $s_n=9=\min s_N$. Però può darsi che io abbia capito male la tua richiesta.
Se invece l'esercizio richiedeva di determinare i punti estremali per la successione $\{a_n=9/n^2\}$ allora si ha sup $a_n=\max\ a_n=9$ e inf $a_n=0$ che non è un minimo (la successione decresce a zero poiché $a_n> a_{n+1}$.)
Si no successione,serie....vabbe sono fritto.
Be si queste sono le conclusioni alla quale sono giunto(n=1,9),bene una buona notizia.
"ciampax":
2) Giusto!
Evvai!
"ciampax":
3) Giusto anche questo (anche se forse se spieghi come sei arrivato a quel confronto asintotico sarebbe meglio!)
Be speriamo che me la tenga buona,di mostrargli tutti i grafici non c'è l'ha detto(non saprei spiegarlo in altro modo).
Sperem.
"ciampax":
4) Sbagliato: per risolvere questo limite devi usare il limite notevole $\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{k}{n})^{hn}=e^{kh}$, da cui
$\lim_{n\rightarrow+\infty}(\frac{4+\sqrt{n}}{\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{4}{\sqrt{n}})^\sqrt{n}=e^4$.
Dahhh è vero,che babbo che sono,tra l'altro l'esercizio inizia chiedendo la definizione di numero di nepero,non ci voleva un genio a capire che il limite sarebbe stato su quello,che scemo... -_-'
"ciampax":
Ramanzine da fare non credo ce ne siano, spero solo di non spingerti a fare gesti inconsulti con questa mia risposta!
Al contrario mi hai fatto felice,ti ringrazio per la tua disponibilità,sei stato gentilissimo.
Prego!
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