Esame scritto di analisi con svolgimento
Salve ragazzi. Ho appena sostenuto lo scritto di analisi 1. Vi posto il testo del compito con il mio svolgimento... fatemi sapere se posso andare all'orale!
1)Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione:
$f(x)=log(sqrt((4sen^2(x)+sqrt(3))/(2sen(x)+1))-sqrt(2sen(x)))$
Svolgimento: ho posto il contenuto delle due radici maggiore uguale a zero, e l'argomento del logaritmo maggiore di zero, cioè:
$ { ( (4sen^2(x)+sqrt(3))/(2sen(x)+1) >= 0 ),( 2sen(x)>=0 ),( sqrt((4sen^2(x)+sqrt(3))/(2sen(x)+1))-sqrt(2sen(x))>0 ):} $
svolgo i calcoli e ottengo come insieme di definizione $[2kpi,pi/3+2kpi)uu(2/3pi+2kpi,pi+2kpi]$.
2)Risolvere la seguente disequazione nel campo complesso: $4(i+1)z^3=|z|^5(1-i)$
Svolgimento: sono passato alla forma esponenziale: $z=p*e^(ia)$, dove $p=|z|$, $a=arg(z)$. Quindi ottengo $4p^3*e^(i(pi/4+3a))=p^5*e^(-ipi/4)$. Uguaglio moduli e argomenti, e ottengo 4 soluzioni: $z=0$, $z=sqrt(3)-i$, $z=2i$, $z=-sqrt(3)-i$.
3)Stabilire per quali valori dei parametri reali $a, b$ la funzione seguente è continua in $[-1/5, +oo$:
$ { ( a*tan(2x)/arcsin(5x)*arctan(1/x) , x in [-1/5, 0) ),( b , x=0),( (root(4)(1+sin^2(x))-1)/x^2 , x>0 ):} $
Svolgimento: i tre rami della funzione sono continui nei loro insiemi di definizione, l'unico punto in cui la continuità è in dubbio è x=0. Se g è continua, allora deve essere $g(0)=lim_(x -> 0^-) g(x)=lim_x ->0^+g(x)$. Svolgo i calcoli e ottengo come soluzione: $b=1/4, a=5/(4pi)$.
4)Calcolare inf e sup dell'inseme A, specificando se sono, rispettivamente, min e max: $A={x=(-1)^nsin(((2n+2)/(2n+1))^(2n+1)*pi/(2e)); n in NN}$
Svolgimento: ho considerato due sottosuccessioni, una a indici pari e una ad indici dispari, dimostrando che quella ad indici pari è strettamente crescente e converge a 1, mentre quella ad indici dispari è strettamente decrescente e converge a -1. Quindi inf(A)=-1; sup(A)=1.
5) Dimostrare che l'equazione $arctan(x)=log(x)$ ammette una sola soluzione.
Svolgimento: ho considerato la funzione $h(x)=arctan(x)-log(x)$, che è definita in $(0, +oo)$. Quindi ho calcolato i limiti agli estremi: $lim_(x->0^+)h(x)=+oo; lim_(x->+oo)h(x)=-oo$. Quindi per il teorema di esistenza degli zeri, ammette almeno una soluzione. Poi ho studiato il segno della derivata, che è sempre negativa: perciò la funzione è strettamente decrescente, e quindi l'equazione ammette una sola soluzione.
Che ne pensate?
1)Determinare l'insieme di definizione della seguente funzione:
$f(x)=log(sqrt((4sen^2(x)+sqrt(3))/(2sen(x)+1))-sqrt(2sen(x)))$
Svolgimento: ho posto il contenuto delle due radici maggiore uguale a zero, e l'argomento del logaritmo maggiore di zero, cioè:
$ { ( (4sen^2(x)+sqrt(3))/(2sen(x)+1) >= 0 ),( 2sen(x)>=0 ),( sqrt((4sen^2(x)+sqrt(3))/(2sen(x)+1))-sqrt(2sen(x))>0 ):} $
svolgo i calcoli e ottengo come insieme di definizione $[2kpi,pi/3+2kpi)uu(2/3pi+2kpi,pi+2kpi]$.
2)Risolvere la seguente disequazione nel campo complesso: $4(i+1)z^3=|z|^5(1-i)$
Svolgimento: sono passato alla forma esponenziale: $z=p*e^(ia)$, dove $p=|z|$, $a=arg(z)$. Quindi ottengo $4p^3*e^(i(pi/4+3a))=p^5*e^(-ipi/4)$. Uguaglio moduli e argomenti, e ottengo 4 soluzioni: $z=0$, $z=sqrt(3)-i$, $z=2i$, $z=-sqrt(3)-i$.
3)Stabilire per quali valori dei parametri reali $a, b$ la funzione seguente è continua in $[-1/5, +oo$:
$ { ( a*tan(2x)/arcsin(5x)*arctan(1/x) , x in [-1/5, 0) ),( b , x=0),( (root(4)(1+sin^2(x))-1)/x^2 , x>0 ):} $
Svolgimento: i tre rami della funzione sono continui nei loro insiemi di definizione, l'unico punto in cui la continuità è in dubbio è x=0. Se g è continua, allora deve essere $g(0)=lim_(x -> 0^-) g(x)=lim_x ->0^+g(x)$. Svolgo i calcoli e ottengo come soluzione: $b=1/4, a=5/(4pi)$.
4)Calcolare inf e sup dell'inseme A, specificando se sono, rispettivamente, min e max: $A={x=(-1)^nsin(((2n+2)/(2n+1))^(2n+1)*pi/(2e)); n in NN}$
Svolgimento: ho considerato due sottosuccessioni, una a indici pari e una ad indici dispari, dimostrando che quella ad indici pari è strettamente crescente e converge a 1, mentre quella ad indici dispari è strettamente decrescente e converge a -1. Quindi inf(A)=-1; sup(A)=1.
5) Dimostrare che l'equazione $arctan(x)=log(x)$ ammette una sola soluzione.
Svolgimento: ho considerato la funzione $h(x)=arctan(x)-log(x)$, che è definita in $(0, +oo)$. Quindi ho calcolato i limiti agli estremi: $lim_(x->0^+)h(x)=+oo; lim_(x->+oo)h(x)=-oo$. Quindi per il teorema di esistenza degli zeri, ammette almeno una soluzione. Poi ho studiato il segno della derivata, che è sempre negativa: perciò la funzione è strettamente decrescente, e quindi l'equazione ammette una sola soluzione.
Che ne pensate?
Risposte
Direi che hai fatto un bel compito e puoi stare tranquillo (anche se non ho controllato i calcoli!!). Bravo!!
L'unica cosa è che nel primo esercizio non hai posto il denominatore diverso da 0, cioè $2sen(x)+1!=0$ e questo ti toglierà qualcosina.
E nell'esercizio 4 (magari l'hai fatto ma non l'hai scritto) devi contollare che il primo termine della successione pari non sia più piccolo di -1
e il primo termine della successione dispari non sia più grande di 1. Altrimenti sarebbero questi i massimi e i minimi ovviamente
L'unica cosa è che nel primo esercizio non hai posto il denominatore diverso da 0, cioè $2sen(x)+1!=0$ e questo ti toglierà qualcosina.
E nell'esercizio 4 (magari l'hai fatto ma non l'hai scritto) devi contollare che il primo termine della successione pari non sia più piccolo di -1
e il primo termine della successione dispari non sia più grande di 1. Altrimenti sarebbero questi i massimi e i minimi ovviamente
Nel primo esercizio ho posto il denominatore diverso da zero quando ho effettuato lo studio del segno. Fa lo stesso?
"emmeffe90":
Nel primo esercizio ho posto il denominatore diverso da zero quando ho effettuato lo studio del segno. Fa lo stesso?
Allora:
$2sen(x)+1!=0$ quindi $sen(x)!= -1/2$ cioè $x!= 7/6pi+2kpi$ e $x!= 11/6pi+2kpi$.
Questi valori compaiono nel dominio che hai scritto e quindi hai sbagliato.
Dai però, non te la prendere. E' solo un piccolo errore.
Bel compito emmeffe. 
Volevo sapere se questa era una prova in itinere o una prova completa di Analisi 1, perchè mancano moltissimi argomenti molto più impegnativi tipo limiti con parametri e calcolo di ordine, studio di funzione, integrali, serie ecc...
Volevo sapere se questa era una prova in itinere o una prova completa di Analisi 1, perchè mancano moltissimi argomenti molto più impegnativi tipo limiti con parametri e calcolo di ordine, studio di funzione, integrali, serie ecc...
Ciao misanino, mi pare che ti sbagli quando dici che quei valori li ha erroneamente inclusi nel dominio (perchè non li ha inclusi nel dominio)
"luluemicia":
Ciao misanino, mi pare che ti sbagli quando dici che quei valori li ha erroneamente inclusi nel dominio (perchè non li ha inclusi nel dominio)
E' vero.
Non li ha inclusi.
Ma a quanto ho capito se non li ha inclusi perchè gli sono stati esclusi da successivi calcoli e non perchè ha posto il denominatore divero da zero!
Ora se il prof intende che lui non l'ha scritto solo perchè ha capito che in ogni caso venivano esclusi, allora lo conterà corretto.
Ma altrimenti c'è un 'imprecisione.
Comunque è un ottimo esame
"AlexlovesUSA":
Bel compito emmeffe.
Era una prova completa di analisi 1, alcuni argomenti mancano perché credo che li faremo nel secondo semestre.
Per quanto riguarda il denominatore, quando ho studiato il segno di $(4sen^2(x)+sqrt(3))/(2sen(x)+1)$, ho anche escluso i valori in cui il denominatore si annulla
In effetti ho sbagliato a riscrivere qui sul forum la prima radice: anche $2sen(x)+1$ va sotto la radice...
Ecco allora avevo ragione io 
. Avete diviso il rpogramma in due parti. Questa era una prova in itinere significa che viene fatta tra i due semestri e quindi fate 2 esami per una sola materia con 2 scritti e 2 orali per alleggerire la materia. Io invece che non ci sono arrivato sto facendo la prova completa che è domani 
. Avete diviso il rpogramma in due parti. Questa era una prova in itinere significa che viene fatta tra i due semestri e quindi fate 2 esami per una sola materia con 2 scritti e 2 orali per alleggerire la materia. Io invece che non ci sono arrivato sto facendo la prova completa che è domani
In bocca al lupo, allora!
Crepi il lupo
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