Esame scritto analisi due

[ing.mecc1]

ciao, date un'occhiata a questi esercizi:

1) f(x,y)=x⁴+y⁴-2x²+4xy-2y²
calcolare eventuali punti di massimo e minimo relativo o di sella.

2)risolvi i seguenti problemi di Cauchy

y′+(1/(2x))y=((xsin(x))/(3+cos(x)))y³
y(1)=1


y′′-3y′-18y=e^{-2x}
y(0)=0
lim_{x→+∞}y(x)=0

3)risolvere il seguente integrale doppio

∬_{A}((|x|+y)/((x²+y²)²))dxdy

dove A={(x,y)∈R²: 1≤x²+y²≤4, y≥0}

4) calcolare la lunghezza della curva γ di equazione:


γ:{

x(t)=∫₀^{t}e^{2s}(e^{s}sin s²+cos s²)ds
y(t)=∫₀^{t}e^{2s}(e^{s}cos s²-sin s²)ds
}(i 2 integrali hanno come estremi di integrazione 0 e t)

5)stabilire se la forma differenziale :

ω(x,y)=(x/(x+y))dx+(y/(x+y))dy

è esatta nel suo insieme di definizione e determinare

a)le primitive,se esistono;


b)∮_{γ}ω, dove γ è il triangolo posto nel primo quadrante di vertici (0,0) (1,0) (0,1) percorso in senso antiorario

spero che le tracce siano chiare,se nn capite qualcosa sono qui per chiarimenti, grazie a tutti..

[Sk_Anonymous]

Visto che nessuno interviene proverò a risolvere il problema che mi pare più ‘ostico’ … anche perché magari vi è qualche problema di interpretazione di scrittura…

Si tratta di risolvere il seguente ‘problema di Cauchy’…

$y’= - y/(2x) + (x*sin x)/(3+cos x)*y^3$

$y(1)=1$ (1)

Questa equazione è nota come ‘ equazione di Bernoulli’ e per me ha un significato un poco ‘particolare’ giacchè grazie a questa sono riuscito a suo tempo quantificare un fenomeno non lineare di propagazione in fibra ottica noto come Stimulated Brillouin Scattering… ma questa è [scusate la frase fatta…] una ‘divagazione’ e torniamo al nostro problema…

L’equazione di Bernoulli ha la forma generale…

$y’= alpha (x)*y + beta (x)*y^n$ (2)

… con $n$ intero e $>1$. La procedura ‘standard’ consiste nel porre $z=1/(y^(n-1))$ per cui ci si riconduce alla equazione lineare in $z$ seguente…

$z’= (1-n)*alpha (x)*z+ (1-n)*beta(x)$ (3)

Nel nostro caso è $alpha(x)= 1/(2x)$, $beta(x)= (x*sin x)/(3+cos x)$, $n=3$ per cui è…

$z’= z/x –2*(x*sin x)/(3+cos x)$ (4)

La (4) si risolve con la procedura usuale per le equazioni lineari del primo ordine…

$z=e^(int a(x)*dx) [int b(x) e^(-int a(x)dx)*dx + c]$ (5)

In questo caso $a(x)=1/x$, $b(x)=-2*(x*sin x)/(3+cos x)$ per cui…

$int a(x)*dx= int dx/x = |ln x|$

$int b(x) e^(-int a(x)*dx) dx= -2*int (sin x)/(3+ cos x)*dx= 2*|ln (3+cos x)|$ (6)

Il risultato è dunque…

$z=x*[c+2*ln (3+cos x)]$ (7)

… ovvero…

$y=1/(sqrt (x*[c + 2*ln (3+cos x)])$ (8)

… in cui $c$ è la ‘costante arbitraria’ determinata dalla condizione $y(1)=1$…

In realtà il risultato pare un poco ‘strano’ e non è escluso qualche ‘baco’ …

Tra l’altro poi non ho messo il termine ‘+/-‘ nella (8) … ahi,ahi,ahi!!!...

Spero proprio mi vogliate ‘perdonare’…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Sk_Anonymous]

Tanto per fare qualcosa proviamo l’integrale…

$int int_A (|x|+y)/((x^2+y^2)^2)* dx*dy$ (1)

… dove $A$ è la regione di piano per cui è $10$. Dato che la funzione è definita solo per $y>0$ ed essa è ‘pari’ in $x$ [ossia è $f(x,y)=f(-x,y)$…] si vede subito che l’integrazione si può fare limitatamente al primo quadrante. Passando in coordinate polari [ovvero ponendo $x=rho*cos theta$, $y=rho*sin theta$...] si ha…

$int int_A (|x|+y)/((x^2+y^2)^2)* dx*dy = 2*int_0^(pi/2) int_1^2 (rho^2*(sin theta + cos theta))/(rho^4)*d theta * d rho=$

$=2* int_0^(pi/2) |-1/rho|_1^2 (sin theta+cos theta)* d theta= int_0^(pi/2) (sin theta + cos theta) *d theta=$

$= |sin theta – cos theta|_0^(pi/2)= 2$ (2)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature