Esame matematica architettura

[adebayor75]

esercizio

Esame di matematica I, facoltà di Architettura Ambientale:
determinare il parametro k affinché il vettore (1,k) forme un angolo di 60° con l'asse x e calcolare l'area del parallelogramma definito dai due vettori....
mi aiutate a risolverlo?
Grazie

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Grazie donatone...sono summa. In effetti ci potevo pensare un pò meglio.
Poi c'è questo problema, che non ricordo proprio come si faccia.
"Calcolate l'area di un parallelogramma i cui lati non paralleli sono definiti dei vettori di componenti (2,0) e (3,3). Applicate la trasformazione lineare rappresentata dalla matrice 2x2, di componenti (1,-2)(prima riga) e (2,1) (seconda riga) ai lati del parallelogramma e calcolate l'area del parallelogramma così ottenuto. Verificate che il rapporto delle aree coincide con il determinante della metrice".

[ciampax]

Per il primo punto, basta considerare che il vettore che corrisponde all'asse x è

[math]i=(1,0)[/math]

per cui, per definizione di prodotto scalare, indicato con

[math]v=(1,k)[/math]

si ha

[math]v\bullet i=|v|\ |i|\cos\theta[/math]

Ora da una parte

[math]v\bullet i=1+0=1$[/math]

, dall'altra

[math]|v|=\sqrt{1+k^2},\ |i|=1,\ \cos\theta=\cos 60=\frac{1}{2}[/math]

, per cui

[math]1=\frac{1}{2}\sqrt{1+k^2}[/math]

da cui

[math]1+k^2=4[/math]

e quindi i valori possibili sono

[math]k=\pm\sqrt{3}[/math]

. Dovendo essere però l'angolo di 60, l'unica scelta possibile è quella positiva, perché con quella negativa il risultato porta ad un angolo di 300 gradi.

Per il secondo punto, quale è il secondo vettore?

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Se indichi con

[math]A[/math]

la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori che determinano i lati allora la superficie

[math]S[/math]

è data da

[math]S=|\det A|[/math]

(il valore assoluto del determinante).

Per il secondo punto, detta

[math]M[/math]

la matrice di trasformazione, calcola i nuovi vettori

[math]a'=Ma,\ b'=Mb[/math]

con l'usuale prodotto matrice vettore e quindi calcola la nuova superficie con la regola di prima. E' immediato verificare che

[math]S'/S=|\det M|[/math]

.