Esame istituzioni matematica

[ghostdog7]

non riesco a risolvere questi esercizi, qualcuno può darmi qualche indizio?

$ lim_(x -> (-1)^(+) ) sqrt(2/(x+1)) - sqrt(x/((x)^(2)-1 )) $

e scrivere i primi termini della serie di taylor di $ e^{(x)^(2) } $

per il limite avevo pensato ( e bocciato) le serie di taylor, hopital (visto che non è il caso)

l'unica altra tecnica che conosco per risolverlo e ricondurlo a qualche lmite notevole, ma per quanto ci pensi non mi viene in mente niente

per il secondo, mi sto riguardando la teoria sulle serie ma ho grossi dubbi

grazie per l'eventuale aiuto

[gugo82]

Il trucco è "derazionalizzare":
\[
\begin{split}
\sqrt{\frac{2}{x-1}} -\sqrt{\frac{x}{(x^2-1)}} &= \frac{\frac{2}{x-1} -\frac{x}{(x^2-1)}}{\sqrt{\frac{2}{x-1}} +\sqrt{\frac{x}{(x^2-1)}}} \\
&= \frac{2(x+1) -x}{(x^2-1) \left(\sqrt{\frac{2}{x-1}} +\sqrt{\frac{x}{(x^2-1)}}\right)} \\
&= \frac{x+2}{(x^2-1) \left(\sqrt{\frac{2}{x-1}} +\sqrt{\frac{x}{(x^2-1)}}\right)}
\end{split}
\]
e tenere presente che:
\[
(x^2-1) \left(\sqrt{\frac{2}{x-1}} +\sqrt{\frac{x}{(x^2-1)}}\right) = \sqrt{2}\ (x+1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x (x^2-1)} \; .
\]