Esame domani mattina amnesia: Come si risolve $root(4)(-1)$
Salve ragazzi, come da titolo ho un esame domani mattina e ripassando mi sono imbattuto in qualcosa che di norma faccio con gli occhi chiusi ma che ora proprio non va:
$lambda=root(4)(-1)$ devo rislverlo con De Moivre, ovvero:
$z^(m/n)= root(n)(rho^m)*[m*cos((theta+2kpi)/n)+m*j sin ((theta+2kpi)/n)]$ ove $rho=sqrt(a^2+b^2)$ e $z=a+jb$
Ora nel mio caso $theta=arcocos(a/rho)=arcocos(-1)=pi$ , $m=1$ , $n=4$ ,$a=-1$ e $b=0$
da cui la prima soluzione risulta essere $-root(2)(2)/2+j root(2)(2)/2$ che viene da $cos(pi/4)+jsin(pi/4)$
Sarà la stanchezza, ma non ci sto capendo più niente..
Spero che qualcuno mi aiuti..
Grazie in anticipo!
$lambda=root(4)(-1)$ devo rislverlo con De Moivre, ovvero:
$z^(m/n)= root(n)(rho^m)*[m*cos((theta+2kpi)/n)+m*j sin ((theta+2kpi)/n)]$ ove $rho=sqrt(a^2+b^2)$ e $z=a+jb$
Ora nel mio caso $theta=arcocos(a/rho)=arcocos(-1)=pi$ , $m=1$ , $n=4$ ,$a=-1$ e $b=0$
da cui la prima soluzione risulta essere $-root(2)(2)/2+j root(2)(2)/2$ che viene da $cos(pi/4)+jsin(pi/4)$
Sarà la stanchezza, ma non ci sto capendo più niente..
Spero che qualcuno mi aiuti..
Grazie in anticipo!
Risposte
Scusa ma non potresti ragionare sul fatto che $root(4)(-1)=sqrt(i)$
Si potrei, come potrei anche scomporre.. o al limite anche ad occhio si vedono le soluzioni..
Il fatto è che volevo farlo con De Moivre e capire dove sbaglio...
Il fatto è che volevo farlo con De Moivre e capire dove sbaglio...
No Lorin, quello che hai scritto mi pare sbagliato. Le radici quadrate di $i$, ovvero le radici di $z^2-i$, sono due; invece le radici quarte dell'unità, ovvero gli zeri di $z^4-1$, sono quattro. Non c'è bisogno di metodi complicati per calcolarle: a occhio si vede subito che sono $1, -1, i, -i$.
Quindi non è lecito il passaggio $root(4)(-1)=root(4)(i^2)=sqrt(i)$ ?!
Sei sicuro che si sta parlando di radice quarte dell'unita? L'equazione a cui si sta facendo riferimento non è $z^4+1$?
Sei sicuro che si sta parlando di radice quarte dell'unita? L'equazione a cui si sta facendo riferimento non è $z^4+1$?
"dissonance":
Non c'è bisogno di metodi complicati per calcolarle: a occhio si vede subito che sono $1, -1, i, -i$.
Sono daccordissimo con te, si vede a occhio!
Il discorso è un'altro.. ho bisogno di assimilare bene De Moivre, e ho pensato di applicarlo a un qualcosa di facile. Quindi ribadisco, il problema non è quell'equazione, ma.. De Moivre!
Io non sono ancora convinto che il problema di determinare $root(4)(-1)$ corrisponda a quella di trovare le soluzione di $z^4-1$.
Scusate se insisto, ma sto provando a ragionarci ma non mi trovo.
Scusate se insisto, ma sto provando a ragionarci ma non mi trovo.
sul fatto che $root(4)(-1)$ sia uguale a $root(2)(i)$ penso non ci siano dubbi..
"Lorin":Per forza non ti trovi, hai ragione!
Io non sono ancora convinto che il problema di determinare $root(4)(-1)$ corrisponda a quella di trovare le soluzione di $z^4-1$.
Scusate se insisto, ma sto provando a ragionarci ma non mi trovo.
Scusate, ragazzi.
Si questo si, ma sul fatto che corrisponda a trovare le radici quarte dell'unità, mi sa che forse Dissonance si sbaglia, avrà visto male forse (aspettiamo tue notizie XD). Intanto il tuo problema l'ho risolto in questo modo. Dopo avere fatto questo passaggio prima di applicare la formula, osservo che:
$i=(cos(\pi/2)+isin(\pi/2)) => root(4)(i)=cos(\pi/2+2k\pi)/2+isin(\pi/2+2k\pi)/2 , k=0,1$
$k=0 => sqrt(2)/2+isqrt(2)/2$
$k=1 => -sqrt(2)/2-isqrt(2)/2$
$i=(cos(\pi/2)+isin(\pi/2)) => root(4)(i)=cos(\pi/2+2k\pi)/2+isin(\pi/2+2k\pi)/2 , k=0,1$
$k=0 => sqrt(2)/2+isqrt(2)/2$
$k=1 => -sqrt(2)/2-isqrt(2)/2$
da dove viene $root(4)(-1)$?
E comunque mi sembra che non ti vengano $+1 -1 +i -i$..
E comunque mi sembra che non ti vengano $+1 -1 +i -i$..
viene dall'equazione $z^4+1=0$
quelle che dici tu sono le radici di $z^4-1=0 => (z^2-1)(z^2+1)=0 <=> z_(1,2)=1,-1 , z_(3,4)=+i,-i$
quelle che dici tu sono le radici di $z^4-1=0 => (z^2-1)(z^2+1)=0 <=> z_(1,2)=1,-1 , z_(3,4)=+i,-i$
scusami volevo dire da dove viene $root(4)(i)$
Fai attenzione io ho detto che $root(4)(-1)=sqrt(i)$ (li ho postati prima i passaggi)
"Lorin":
$i=(cos(\pi/2)+isin(\pi/2)) => root(4)(i)=cos(\pi/2+2k\pi)/2+isin(\pi/2+2k\pi)/2 , k=0,1$
Mi riferisco a questo $root(4)(i)$
scusami errore mio era $sqrt(i)$, pardon
Sai per caso dove sta l'errore nel procedimento che ho adoperato io?
Forse la formula è sbagliata? Perchè i passaggi successivi mi sembrano chiari e lineari..
Forse la formula è sbagliata? Perchè i passaggi successivi mi sembrano chiari e lineari..
Nel passaggio che hai fatto tu, credo che nella formula il $/2$ vada dentro il coseno...
Altrimenti non verrebbe il $pi/4$
E comunque questo tuo risultato ($sqrt(2)$ecc...), è identico al mio.. che è sbagliato...
Altrimenti non verrebbe il $pi/4$
E comunque questo tuo risultato ($sqrt(2)$ecc...), è identico al mio.. che è sbagliato...
Allora secondo me l'errore comune che commettono un pò tutti quando inizialmente si ha a che fare con radici in cui il radicando è negativo è che nell'applicare la formula (che tra l'altro trovo sbagliata), perchè tu per risolvere questi problemi devi utilizzare la formula che ti permette di trovare le radici n-sime, cioè:
$root(n)(z)=root(n)(\rho)(cos(\theta+2k\pi)/2+isin(\theta+2k\pi)/2)$
precisando che $\rho=(cos\theta+isin\theta)$
Nel nostro caso, tramite il mio passaggio $\rho=i=cos(\pi/2)+isin(\pi/2)$
$root(n)(z)=root(n)(\rho)(cos(\theta+2k\pi)/2+isin(\theta+2k\pi)/2)$
precisando che $\rho=(cos\theta+isin\theta)$
Nel nostro caso, tramite il mio passaggio $\rho=i=cos(\pi/2)+isin(\pi/2)$
Ho capito!!! Ho aperto un post fondato sul nulla!! Le soluzioni di $root(4)(-1)$ sono proprio:
$ \pmsqrt(2)/2 \pm jsqrt(2)/2$
Altro che più e meno uno e più e meno j!!
Del resto $root(4)(-1)$ viene da $lambda^4+1=0$
$ \pmsqrt(2)/2 \pm jsqrt(2)/2$
Altro che più e meno uno e più e meno j!!
Del resto $root(4)(-1)$ viene da $lambda^4+1=0$
Si era quello che tentavo di spiegarti....^^
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