Esame di Analisi 1+2 Please Help
allora
1° esercizio: $intx arctg(2x)dx$
parte 1b: Posto $F(x)= int_0^x[(e)^t]^2dt$ (l'integrale è definito tra 0 e x) con $x inRR$, si calcoli la derivata prima di F nel punto $sqrt2$. si dica se $F(x)$ è crescente in $RR$
2° esercizio:Si Studi il grafico della funzione $f(x)=-(x-1)^2e^(-x)$
3° esercizio:Si consideri la serie $sum_(n=1)^(+prop) sqrtn/(n+1)(x-1)^n$ . Si trovi l'insieme $A={x in RR$ | la serie converge$}$ (ovviamente la serie va da 1 a $+prop$)
parte 3b: Si dica qual'è il comportamento della successione ${sum_(k=1)^k=n sqrtk/(k+1)(x-1)^k }_(n=1)^(+prop)$ per $x=3/2$ e $x=3$
Grazie mille ragazzi, oggi ho fatto l'esame e vorrei avere riscontri
1° esercizio: $intx arctg(2x)dx$
parte 1b: Posto $F(x)= int_0^x[(e)^t]^2dt$ (l'integrale è definito tra 0 e x) con $x inRR$, si calcoli la derivata prima di F nel punto $sqrt2$. si dica se $F(x)$ è crescente in $RR$
2° esercizio:Si Studi il grafico della funzione $f(x)=-(x-1)^2e^(-x)$
3° esercizio:Si consideri la serie $sum_(n=1)^(+prop) sqrtn/(n+1)(x-1)^n$ . Si trovi l'insieme $A={x in RR$ | la serie converge$}$ (ovviamente la serie va da 1 a $+prop$)
parte 3b: Si dica qual'è il comportamento della successione ${sum_(k=1)^k=n sqrtk/(k+1)(x-1)^k }_(n=1)^(+prop)$ per $x=3/2$ e $x=3$
Grazie mille ragazzi, oggi ho fatto l'esame e vorrei avere riscontri
Risposte
vabbè visto ke nn rispondete, intanto provo a dirvi come ho fatto l'integrale e cominciamo da quello, così vi do un input...vediamo se è giusto:
l'ho trattato per parti ovviamente ponendo:
$f(x)=arctg(2x)$
$g'(x)=x$
per cui segue: $intx arctg(2x)dx= arctg(2x)x^2/2-int 2/[(2x)^2+1]x^2/2dx$ --->
$int 2/[(2x)^2+1]x^2/2dx= intx^2/(4x^2+1)dx$ --> $1/4int x^2/(x^2+1/4)dx$ --> aggiungo e tolgo 1/4 a numeratore e ottengo spezzando gli integrali ottenuti $1/4x$ per uno e $-1/8arctg(2x)$ per l'altro, in definitiva:
$intx arctg(2x)dx=arctg(2x)[x^2/2+1/8]-1/4x-c$
ditemi che è giusto, non trovo errori in ciò che ho fatto...
l'ho trattato per parti ovviamente ponendo:
$f(x)=arctg(2x)$
$g'(x)=x$
per cui segue: $intx arctg(2x)dx= arctg(2x)x^2/2-int 2/[(2x)^2+1]x^2/2dx$ --->
$int 2/[(2x)^2+1]x^2/2dx= intx^2/(4x^2+1)dx$ --> $1/4int x^2/(x^2+1/4)dx$ --> aggiungo e tolgo 1/4 a numeratore e ottengo spezzando gli integrali ottenuti $1/4x$ per uno e $-1/8arctg(2x)$ per l'altro, in definitiva:
$intx arctg(2x)dx=arctg(2x)[x^2/2+1/8]-1/4x-c$
ditemi che è giusto, non trovo errori in ciò che ho fatto...
procedo con la soluzione al 2° che ho eseguito all'esame, spero sempre in conferme da parte vostra:
la funzione $f(x)=-(x+1)^2e^(-x)$
Dominio: $AA x in RR$
Segno: si trova sempre sotto all'asse x
Intersezioni Assi: ${y=0 ; x=-1}$ ${x=0 ; y=-1}$
Limiti: $lim_(x->-prop)=-prop$ $lim_(x->prop)=0$
Derivata prima: $f'(x)=e^-x(x^2-1)$
Studio della derivata prima: $e^-x(x^2-1)>0$ --> $MAX(-1,0)$ $MIN(1,-4/e)$ (non ricordo il minimo e nn lo ritrovo sui fogli di brutta, nn sono sicuro ke sia questo)
Derivata seconda: $f''(x)=e^-x(-x^2+2x+1)$
Studio della derivata seconda: $f''(x)=e^-x(-x^2+2x+1)>0$ --> 2 punti di flesso, da $-prop$ a $1-sqrt2$ rivolge l'apertura verso il basso (nn ricordo mai qual'è concava e quale convessa
) tra $1-sqrt2$ e $1+sqrt2$ verso l'alto e da $1+sqrt2$ a $+prop$ verso il basso
fatemi sapere, ora scrivo anche la serie...
la funzione $f(x)=-(x+1)^2e^(-x)$
Dominio: $AA x in RR$
Segno: si trova sempre sotto all'asse x
Intersezioni Assi: ${y=0 ; x=-1}$ ${x=0 ; y=-1}$
Limiti: $lim_(x->-prop)=-prop$ $lim_(x->prop)=0$
Derivata prima: $f'(x)=e^-x(x^2-1)$
Studio della derivata prima: $e^-x(x^2-1)>0$ --> $MAX(-1,0)$ $MIN(1,-4/e)$ (non ricordo il minimo e nn lo ritrovo sui fogli di brutta, nn sono sicuro ke sia questo)
Derivata seconda: $f''(x)=e^-x(-x^2+2x+1)$
Studio della derivata seconda: $f''(x)=e^-x(-x^2+2x+1)>0$ --> 2 punti di flesso, da $-prop$ a $1-sqrt2$ rivolge l'apertura verso il basso (nn ricordo mai qual'è concava e quale convessa
) tra $1-sqrt2$ e $1+sqrt2$ verso l'alto e da $1+sqrt2$ a $+prop$ verso il bassofatemi sapere, ora scrivo anche la serie...
3° esercizio parte (a):
$sum sqrtn/(n+1)(x-1)^n$
per studiare la convergenza della serie dovrei applicare un criterio, come quello del rapporto, che però è applicabile solo su serie a termini non negativi, perciò lo applico sulla serie dei valori assoluti:
$lim_(n->prop)a_(n+1)/(a_n)=$ $sqrt(n+1)/(n+2)|x-1|^(n+1)(n+1)/(sqrtn|x-1|^n)$ --> $sqrt[(n+1)/n](|x-1|^n|x-1|)/|x-1|^n(n+1)/(n+2)$
$n->prop$
$sqrt[(n+1)/n]->1$
$(n+1)/(n+2)->1$
$|x-1|$ per ottenere la convergenza si deve imporre $|x-1|<1$ --> $0
parte (b):
Mi basta dire che il comportamento della sottosuccessione è lo stesso della serie appena studiata, e che per i valori di x proposti, la serie è a termini non negativi, per cui mi basta sostituirli in $(x-1)$ per ottenere nel primo caso $x=3/2$ una serie convergente poichè $1/2<1$ mentre nel secondo caso $x=3$ una serie divergente poichè $2>1$ per il criterio del rapporto
con questo è quanto, ora aspetto le risposte, vi prego sto a pezzi...
$sum sqrtn/(n+1)(x-1)^n$
per studiare la convergenza della serie dovrei applicare un criterio, come quello del rapporto, che però è applicabile solo su serie a termini non negativi, perciò lo applico sulla serie dei valori assoluti:
$lim_(n->prop)a_(n+1)/(a_n)=$ $sqrt(n+1)/(n+2)|x-1|^(n+1)(n+1)/(sqrtn|x-1|^n)$ --> $sqrt[(n+1)/n](|x-1|^n|x-1|)/|x-1|^n(n+1)/(n+2)$
$n->prop$
$sqrt[(n+1)/n]->1$
$(n+1)/(n+2)->1$
$|x-1|$ per ottenere la convergenza si deve imporre $|x-1|<1$ --> $0
parte (b):
Mi basta dire che il comportamento della sottosuccessione è lo stesso della serie appena studiata, e che per i valori di x proposti, la serie è a termini non negativi, per cui mi basta sostituirli in $(x-1)$ per ottenere nel primo caso $x=3/2$ una serie convergente poichè $1/2<1$ mentre nel secondo caso $x=3$ una serie divergente poichè $2>1$ per il criterio del rapporto
con questo è quanto, ora aspetto le risposte, vi prego sto a pezzi...
L'integrale va bene.
La funzione va bene. Ricordarsi la concavità è facile: tieni a mente $f(x)=x^2$, che è concava, e $f(x)=-x^2$ che è convessa.
prima di tutto grazie mille, sei l'unico che mi ha risposto,
ma la serie?
un'altra cosa, dici ke l'integrale va bene? perkè io ho provato a derivarlo, ma oltre alla forma iniziale mi vengono anche altri pezzi...(ho pensato ke forse è per via di c...)
ma la serie?
un'altra cosa, dici ke l'integrale va bene? perkè io ho provato a derivarlo, ma oltre alla forma iniziale mi vengono anche altri pezzi...(ho pensato ke forse è per via di c...)
Deriva bene:
$d/(dx) {[x^2/2+1/8]mbox(arc)tan(2x)-x/4+c}=xmbox(arc)tan(2x)+(x^2/2+1/8)cdot 2/(1+4x^2)-1/4=xmbox(arc)tan(2x)+frac(2(1+4x^2))(8(1+4x^2))-1/4=xmbox(arc)tan(2x)$.
$d/(dx) {[x^2/2+1/8]mbox(arc)tan(2x)-x/4+c}=xmbox(arc)tan(2x)+(x^2/2+1/8)cdot 2/(1+4x^2)-1/4=xmbox(arc)tan(2x)+frac(2(1+4x^2))(8(1+4x^2))-1/4=xmbox(arc)tan(2x)$.
Per la serie utilizzerei il teorema di D'Alembert o quello di Cauchy-Hadamard. Utilizziamo il secondo.
Poichè $lim_(n to oo) root(n)(|a_n|)=lim_(n to oo)root(n)(|(sqrtn)/(n+1)|)=1$, il raggio di convergenza della serie è $1$, quindi la serie converge per $0
Poichè $lim_(n to oo) root(n)(|a_n|)=lim_(n to oo)root(n)(|(sqrtn)/(n+1)|)=1$, il raggio di convergenza della serie è $1$, quindi la serie converge per $0
Per quanto riguarda la parte 1b, è il solito esercizio che devi svolgere in un lampo, altrimenti ti sottrraggono punti. Senza calcolare l'integrale, noto che $F(x)$ è la funzione integrale di $e^(2t)$, e quindi una sua primitiva, per cui la derivata è $e^(2x)$, che in $sqrt2$ vale $e^(2sqrt2)$. Poichè $e^(2x)$ è positiva $forall x in RR$, $F(x)$ è crescente su $RR$ (secondo corollario del teorema di Lagrange).
Un grazie di cuore elgiovo (Giovanni?)
quindi penso che sia tutto giusto nelle soluzioni che ho proposto ank'io?
una sola cosa, del 3b ke dici? è così come l'ho fatto io?
Grazie ancora davvero
quindi penso che sia tutto giusto nelle soluzioni che ho proposto ank'io?
una sola cosa, del 3b ke dici? è così come l'ho fatto io?
Grazie ancora davvero
Onestamente non ho capito cosa significa. Parli di parentesi graffe... scrivilo un pò meglio magari.
"Ing.RicoGT":
parte 3b: Si dica qual'è il comportamento della successione ${sum_(k=1)^k= sqrtk/(k+1)(x-1)^k }_(n=1)^(+prop)$ per $x=3/2$ e $x=3$
Grazie mille ragazzi, oggi ho fatto l'esame e vorrei avere riscontri
ho editato, credo che ora sia + comprensibile, è la forma in cui era presentato l'esercizio
Certo, ovviamente la serie numerica diverge-converge laddove la serie di funzioni diverge-converge.
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