Esame Calcolo Integrale Forma Differenziale
Ciao a tutti raga non riesco a risolvere il seguente esercizio.
Data la forma differenziale:
$\omega=(x[2+log(x^2+y^2)])/(sqrt(x^2+y^2))dx+(y[2+log(x^2+y^2)])/(sqrt(x^2+y^2))dy$
calcolare $int_(\gamma)\omega$
dove $\gamma$ è la frontiera del quadrato $[-1,1]times[-1,1]$
Io come prima cosa ho calcolato il dominio della forma differenziale che mi risulta essere $RR^2-(0,0)$; a questo punto ho verificato la condizione necessaria affinchè la forma differenziale sia esatta; e fino a qui nessun problema.A questo punto siccome il dominio non è un insieme stellatto non posso concludere che sia anche esatta.Quindi ho calcolato l'integrale su una qualunque curva chiusa contenuta nel dominio:
Ho utilizzato la circonferenza di raggio unitario e centro nell'origine $(sint,cost)$ con $t in [0,2\pi]$.
E ho ottenuto che l'integrale è $0$.Quindi la forma differenziale data è esatta.
Qui mi sn bloccato; come devo procedere ora per calcolare l'integrale richiesto?
Data la forma differenziale:
$\omega=(x[2+log(x^2+y^2)])/(sqrt(x^2+y^2))dx+(y[2+log(x^2+y^2)])/(sqrt(x^2+y^2))dy$
calcolare $int_(\gamma)\omega$
dove $\gamma$ è la frontiera del quadrato $[-1,1]times[-1,1]$
Io come prima cosa ho calcolato il dominio della forma differenziale che mi risulta essere $RR^2-(0,0)$; a questo punto ho verificato la condizione necessaria affinchè la forma differenziale sia esatta; e fino a qui nessun problema.A questo punto siccome il dominio non è un insieme stellatto non posso concludere che sia anche esatta.Quindi ho calcolato l'integrale su una qualunque curva chiusa contenuta nel dominio:
Ho utilizzato la circonferenza di raggio unitario e centro nell'origine $(sint,cost)$ con $t in [0,2\pi]$.
E ho ottenuto che l'integrale è $0$.Quindi la forma differenziale data è esatta.
Qui mi sn bloccato; come devo procedere ora per calcolare l'integrale richiesto?
Risposte
scusa, ma se l'hai calcolato su un circuito omotopo al quadrato hai risolto, perchè il lavoro compiuto è lo stesso (perchè la f.d. è chiusa). tra l'altro hai pure affermato che la forma differenziale è esatta, quindi trai da solo le conclusioni
quindi praticamente l'integrale; dovrebbe essere zero è corretto?
Comunque siccome è il primo esercizio che faccio; vorrei provare a calcolarlo comunque; e fare questa verifica.Facendo finta che non ci avessi fatto caso a questa cosa;a questo punto potresti spiegarmi per passi come si procede nel calcolo di quest'integrale?
Comunque siccome è il primo esercizio che faccio; vorrei provare a calcolarlo comunque; e fare questa verifica.Facendo finta che non ci avessi fatto caso a questa cosa;a questo punto potresti spiegarmi per passi come si procede nel calcolo di quest'integrale?
ti fai del male da solo, questo era un esercizio mirato secondo me. comunque devi solo parametrizzare il quadrato, che sarà formato da 4 curve regolari (segmenti) e poi calcolarti il lavoro lungo le singole curve. il lavoro totale è dato dalla somma di tutti i lavori
Io ho pensato anche un altra cosa; non so se sbaglio; ma essendo il quadrato una curva chiusa; ed essendo la mia forma differenziale esatta; l'integrale lungo una linea chiusa non è comunque nullo; dipendendo solo dal potenziale nel punto iniziale e dal potenziale nel punto finale? e visto che in questo caso unto iniziale e finale coincidono dovrebbe essere nullo.Oppure sto dicendo una cavolata?
sì, sarebbe così se fosse esatta, ma NON è esatta.
c'è la lacuna nel punto $(0,0)$ che è
racchiusa dal circuito.
Però, come diceva enr87, ogni
circuitazione attorno la lacuna ti darà lo stesso valore.
Perciò puoi sceglierti un cammino chiuso "Comodo" per l'integrazione, e
quello che ottieni sarà anche il valore dell'integrazione sul quadrato.
A me quei $(x^2+y^2)$ fanno venire
in mente come circuito "comodo" una circonferenza con centro l'origine.
c'è la lacuna nel punto $(0,0)$ che è
racchiusa dal circuito.
Però, come diceva enr87, ogni
circuitazione attorno la lacuna ti darà lo stesso valore.
Perciò puoi sceglierti un cammino chiuso "Comodo" per l'integrazione, e
quello che ottieni sarà anche il valore dell'integrazione sul quadrato.
A me quei $(x^2+y^2)$ fanno venire
in mente come circuito "comodo" una circonferenza con centro l'origine.
Dici bene: se una forma diff. continua (su un aperto connesso) è esatta, la sua circuitazione lungo una qualunque curva (chiusa) è nulla.
Ma come non è esatta; il fatto che io abbia trovato una circuitazione su cui l'integrale è nullo non è equivalente a dire che la forma differenziale è esatta?
La forma differenziale NON è
esatta su un dominio che
includa il quadrato,
perchè questo dominio NOn è semplicemente connesso.
Tuttavia, non è detto
che le circuitazioni
attorno alla lacuna, cioè il punto $(0,0)$ non possano essere nulle.
Anche se siano nulle, comunque, non si può dire che la f.d. sia "esatta".
esatta su un dominio che
includa il quadrato,
perchè questo dominio NOn è semplicemente connesso.
Tuttavia, non è detto
che le circuitazioni
attorno alla lacuna, cioè il punto $(0,0)$ non possano essere nulle.
Anche se siano nulle, comunque, non si può dire che la f.d. sia "esatta".
"orazioster":
sì, sarebbe così se fosse esatta, ma NON è esatta.
c'è la lacuna nel punto $(0,0)$ che è
racchiusa dal circuito.
Però, come diceva enr87, ogni
circuitazione attorno la lacuna ti darà lo stesso valore.
Perciò puoi sceglierti un cammino chiuso "Comodo" per l'integrazione, e
quello che ottieni sarà anche il valore dell'integrazione sul quadrato.
A me quei $(x^2+y^2)$ fanno venire
in mente come circuito "comodo" una circonferenza con centro l'origine.
io non ho fatto i conti, ma se la circuitazione è nulla allora la forma è esatta / edit: questo deriva dal fatto che tutti i circuiti attorno al punto sono omotopi, mi scuso per l'imprecisione precedente
"enr87":
io non ho fatto i conti, ma se la circuitazione è nulla allora la forma è esatta / edit: questo deriva dal fatto che tutti i circuiti attorno al punto sono omotopi, mi scuso per l'imprecisione precedente
Ho fatto i conti, e la circuitazione è nulla.
Tuttavia, penso che comunque non si possa definire "esatta" la forma differenziale.
Infatti la definizione di "esattezza" prescinde
dal calcolo di circuitazioni:
è proprio che la f.d. si dice "esatta"
1)se è chiusa
E
2) se è definita (in 2D) su un aperto semplicemente connesso.
allora il teorema dice che se data una forma differenziale $\omega$ definiti su un insieme $A$ aperto connesso; (nel mio caso $RR^2-(0,0)$ dovrebbe essere un aperto connesso); condizione necessara e sufficiente affinchè $\omega$ sia esatta è che ogni circuitazione sia nulla.
"orazioster":
[quote="enr87"]
io non ho fatto i conti, ma se la circuitazione è nulla allora la forma è esatta / edit: questo deriva dal fatto che tutti i circuiti attorno al punto sono omotopi, mi scuso per l'imprecisione precedente
Ho fatto i conti, e la circuitazione è nulla.
Tuttavia, penso che comunque non si possa definire "esatta" la forma differenziale.
Infatti la definizione di "esattezza" prescinde
dal calcolo di circuitazioni:
è proprio che la f.d. si dice "esatta"
1)se è chiusa
E
2) se è definita (in 2D) su un aperto semplicemente connesso.[/quote]
e qui ti sbagli, perchè si dimostra che l'essere la f.d. esatta è equivalente ad avere circuitazione nulla lungo ogni percorso chiuso contenuto nel dominio della f.d.
-pensavo fosse come ho scritto...
A pensarci, ora... mi viene
in mente che l'essere "esatta" vuol dire avere una primitiva definita sul dominio.
Uhm.ora semmai "ripasso" le f.d.
A pensarci, ora... mi viene
in mente che l'essere "esatta" vuol dire avere una primitiva definita sul dominio.
Uhm.ora semmai "ripasso" le f.d.
Ma quindi alla fine quell'integrale curvilineo dovrebbe essere $0$.corretto?
questo sì: è $0$ 
Ok ho capito arei un ulteriore domando; se lo avessi dovuto calcolare ; avrei dovuto scomporre il quadrato che è una curva regolare a tratti; in 4 segmenti; parametrizzare i 4 segmenti; e poi fare l'integrale; curvilineo per ogni segmento è corretto?
Oppure potevo pure calcolarmi il potenziale; della mia forma differenziale; e poi calcolare l'integrale facendo la diffrenza tra il potenziale; calcolato ai 2 estremi del segmento a cui è esteso l'integrale.Corretto?
Oppure potevo pure calcolarmi il potenziale; della mia forma differenziale; e poi calcolare l'integrale facendo la diffrenza tra il potenziale; calcolato ai 2 estremi del segmento a cui è esteso l'integrale.Corretto?
Sì, è giusto calcolare la somma degli integrali dei singoli tratti, quando una curva è regolare a tratti.
Per quanto riguarda la seconda domanda, se la forma differenziale ammette primitiva (potenziale) vuol dire che è esatta, quindi la circuitazione lungo il quadrato è sicuramente nulla, perché è una curva chiusa; quindi è inutile calcolarsi l'integrale sui singoli segmenti.
Però, se ti serve per chiarimento: se vuoi calcolare l'integrale su un semplice segmento (ma su una qualsiasi curva) quando la forma è esatta, sì, basta calcolare la differenza fra la primitiva calcolata nel punto finale e la primitiva calcolata nel punto finale.
Per quanto riguarda la seconda domanda, se la forma differenziale ammette primitiva (potenziale) vuol dire che è esatta, quindi la circuitazione lungo il quadrato è sicuramente nulla, perché è una curva chiusa; quindi è inutile calcolarsi l'integrale sui singoli segmenti.
Però, se ti serve per chiarimento: se vuoi calcolare l'integrale su un semplice segmento (ma su una qualsiasi curva) quando la forma è esatta, sì, basta calcolare la differenza fra la primitiva calcolata nel punto finale e la primitiva calcolata nel punto finale.
"orazioster":
la f.d. si dice "esatta"
1)se è chiusa
E
2) se è definita (in 2D) su un aperto semplicemente connesso.
no!
Queste (opportunamente precisate) sono solo condizioni sufficienti di esattezza.
Basta riflettere un momento per capire che questa definizione sarebbe strana.
Prendo una forma differnziale esatta su $RR^2$
La restringo a un sottoinsieme non semplicemente connesso e non è più esatta?
Una forma si dice esatta se ha potenziale.
"orazioster":
[quote="Fioravante Patrone]
no!
Queste (opportunamente precisate) sono solo condizioni sufficienti di esattezza.
Basta riflettere un momento per capire che questa definizione sarebbe strana.
Prendo una forma differnziale esatta su $RR^2$
La restringo a un sottoinsieme non semplicemente connesso e non è più esatta?
Una forma si dice esatta se ha potenziale.
Infatti, come dicevo -m'era venuto poi
in mente che la forma è esatta se "ammette una primitiva" (ammette potenziale).
Il che è equivalente a dire che OGNi circuitazione sia nulla.[/quote][/quote]
Nel mio testo di anlisi matematica II; dice che:Se si ha una forma differenziale esatta; è equivalente a dire che la sua circuitazione si annulla su ogni curva chiusa contenuta nel suo dominio.
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