Esame Ammissione Ph.D SISSA 2012 - Ex. 4

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Trovare una mappa \(f:[0,1] \to [0,1]\) con le seguenti proprietà:

[list=1]1. \(f\) è una corrispondenza biunivoca tra \([0,1]\) e \((0,1)\);

2. \(f(x) = x\) per quasi ogni \(x \in [0,1]\).[/list:o:1oz9luvs]

Ho pensato a questo: considero l'insieme \( \mathbb{Q} \cap (0,1)\), che ha misura unidimensionale di Lebesgue nulla; è numerabile, e ne posso considerare un'enumerazione \(n \mapsto q_n \in \mathbb{Q} \cap (0,1) \). Definisco allora \[f(x) := \begin{cases} x & \text{se } x \in (0,1) \setminus \mathbb{Q} \cap (0,1) \\ q_1 & \text{se } x= 0 \\ q_2 & \text{se } x=1 \\ q_{n+2} & \text{se } x=q_n, \, n=1,2,\dots \end{cases} \]che mi pare risolva il quesito.

Funziona?

Ringrazio.

[Raptorista1]

A me sembra funzioni, la soluzione è la stessa dell'albergo di Hilbert, cioè di far slittare tutti di uno [o di due, in questo caso].

[Sk_Anonymous]

Grazie!