Es.7(10) derivate ed applicazioni, da [tex]\sqrt{1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}-1[/tex] a [tex]1-\frac{1}{4}x^2+o(x^2)-1[/tex]
Utilizzando gli sviluppi di Taylor, sto calcolando
La soluzione ufficiale è
al denominatore, [tex]\sqrt{1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}-1[/tex] non riesco a capire come faccia a liberarsi della radice facendolo diventare
[tex]1-\frac{1}{4}x^2+o(x^2)-1[/tex]
soprattutto non mi quadra come gestisce il segno meno davanti a $1/2x^2$
La soluzione ufficiale è
al denominatore, [tex]\sqrt{1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}-1[/tex] non riesco a capire come faccia a liberarsi della radice facendolo diventare
[tex]1-\frac{1}{4}x^2+o(x^2)-1[/tex]
soprattutto non mi quadra come gestisce il segno meno davanti a $1/2x^2$
Risposte
Facendo l'asintotico della radice:
in generale si ha che, $(1+t_(x))^(alpha)-1$ è asintotico ad $alphat_x$, dove $t_x$ è un infinitesimo per $x->0$.
In fin dei conti, come puoi vedere, l'asintotico altro non è che lo sviluppo in serie di taylor in $x=0$ della radice $root(alpha)(1+t_x)$ arrestata al primo termine;
nel caso specifico dove $alpha=1/2$, avrai quindi:
$(1-(1/2)x^2+..)^(1/2)-1=(1+(1/2)(-1/2)x^2+....)-1=-(1/4)x^2+...$;
pertanto ritornando al limite avrai $lim_(x->0)(-x^2/2)/(-x^2/4)=4/2=2$.
Spero che la mia spiegazione, sia chiara.
in generale si ha che, $(1+t_(x))^(alpha)-1$ è asintotico ad $alphat_x$, dove $t_x$ è un infinitesimo per $x->0$.
In fin dei conti, come puoi vedere, l'asintotico altro non è che lo sviluppo in serie di taylor in $x=0$ della radice $root(alpha)(1+t_x)$ arrestata al primo termine;
nel caso specifico dove $alpha=1/2$, avrai quindi:
$(1-(1/2)x^2+..)^(1/2)-1=(1+(1/2)(-1/2)x^2+....)-1=-(1/4)x^2+...$;
pertanto ritornando al limite avrai $lim_(x->0)(-x^2/2)/(-x^2/4)=4/2=2$.
Spero che la mia spiegazione, sia chiara.
"francicko":
Spero che la mia spiegazione, sia chiara.
Sì, grazie mille
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