Es.1.6(2) successioni: riconduzione a limite notevole

[koloko]

Limite per $n->\infty$ di

Soluzione:

analizzando solamente l'espontente della parentesi e dovendo ricondurlo ad una forma del tipo [tex]2n+1[/tex]
aggiungo e tolgo 1:
[tex]n+1-1[/tex]
poi moltiplico e divido per 2
[tex]2(n+1-1)\frac{1}{2}[/tex]
però poi non riesco a ricondurlo alla soluzione dell'esercizio, ovvero
[tex]\frac{1}{2}(2n+1-1)[/tex]
un'altra strada ipotizzata è che da
$n$
moltiplichi e divida per 2
[tex](n)\frac{2}{2}[/tex]
per poi aggiungere e togliere 1 dentro la parentesi
[tex](n+1-1)\frac{2}{2}[/tex]
il che mi riporta sempre allo stesso punto morto

[Zero87]

Guarda, partiamo da $a^n$ con $a \equiv a_n=1+1/(2n+1)$ tanto per non stare sempre a scrivere l'argomento.

$a^n= ((a^n)^2)^(1/2)$ cioè $=\sqrt((a^n)^2)=\sqrt(a^(2n))$.
A questo punto
$\sqrt(a^(2n))=\sqrt(a^(2n) \cdot a/a)= \sqrt((a^(2n+1))/a)$ che è quanto vedi sulla soluzione.

[francicko]

$lim_(n->infty)1+1/[2n(1+1/(2n))]^n=lim_(n->infty)(1+1/(2n))^n=lim_(n->infty)(1+1/(2n))^(2n/2)=lim_(n->infty)((1+1/(2n))^(2n))^(1/2)=e^(1/2)=sqrt(e)$, oppure per ricondurti sempre alla forma notevole puoi anche moltiplicare e dividere l'esponente $n$ per la quantità $2n+1$;

[koloko]

Grazie francicko, tuttavia la risposta di Zero87 era già abbastanza per me