Es.1.3(6) induzione in risoluzione limite?

[koloko]

Nella soluzione del limite per n che tende ad infinito

dopo un po' la soluzione prende le sembianze di una dimostrazione per induzione... Che ne dite? Soprattutto non mi torna quel numeratore che da [tex]2n-1[/tex] diventa [tex]n+1[/tex]

[@melia]

L'induzione non c'entra niente.
Un fattoriale tipo $6! =6*5*4*3*2*1$, ma puoi anche pensarlo $6! = 6*5*4*3!$ giusto?
Allora $(2n)!$ può essere scritto come $(2n)! = 2n*(2n-1)*(2n-2)* ...*1$ ma anche ti puoi fermare prima come
$(2n)! = 2n*(2n-1)*(2n-2)* (2n-3)!$ oppure $(2n)! = 2n*(2n-1)*(2n-2)* ...*(n+1)*n!$, mentre il denominatore
$n^n= n*n*n...*n$ con $n$ fattori tutti uguali.
La forma $((2n)!)/n^n =$ per quanto detto sopra diventa
$= (2n*(2n-1)*(2n-2)* ...*(n+1)*n!)/n^n =$ a numeratore ci sono $n+1$ fattori, mentre a denominatore i fattori sono $n$, posso spezzare la frazione in $n$ frazioni moltiplicate per l'ultimo fattore a numeratore:
$= (2n)/n*(2n-1)/n*(2n-2)/n* ...*(n+1)/n*n!$ i primi $n$ fattori sono tutti maggiori di $1$, quindi quel prodotto risulta
$ (2n)/n*(2n-1)/n*(2n-2)/n* ...*(n+1)/n*n! > n!$