Es. sulla misura di lebesgue

[qwertyuio1]

Devo dimostrare che il grafico di una funzione continua f:A-->R, con A compatto di R^n, ha misura nulla.
Usando la totale limitatezza di A (che viene dalla compattezza) e la continuità uniforme di f (che viene dal teorema di Heine-Cantor) si può ricoprire il grafico di f con un numero finito p di cubetti di misura epsilon. La misura del ricoprimento è dunque p*epsilon. Se al tendere di epsilon a 0, la misura del ricoprimento tendesse a 0 sarei a posto. Invece non riesco ad essere sicuro di questo fatto perché più epsilon diventa piccolo, più cubetti sono necessari per ricoprire il grafico di f.
Spero di essere stato abbastanza chiaro.. qualcuno mi sa dare una mano?
Grazie a tutti!

[dissonance]

Veramente la dimostrazione che (vagamente) ricordo io è un'altra. Supponiamo che $f$ sia positiva senza perdere in generalità. Chiamiamo $G={(x, y)\ :\ f(x)<=y}$ e $G^{**}={(x,y)\ :\ f(x)
Si tratta quindi di mostrare che $G, G^{**}$ sono misurabili, di misura finita, e le loro misure coincidono. E qui io penserei al teorema sulla misura dell'unione:
$m(uuE_n)=lim_{n\toinfty}m(E_n)$ se $E_1\subE_2\sub...E_n\sub...$;
al teorema di B. Levi sulla convergenza monotona;
e al fatto che ogni funzione misurabile e positiva si ottiene come limite crescente di funzioni semplici (*).

Mescolando opportunamente questi tre ingredienti si arriva (mi pare) a dire che $G$ è misurabile e $m(G)=int_Af(x)"d"x$. Ora possiamo prendere $0

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[fu^2]

Perchè bisogna essere formali per non avere dubbi questa sera sono buono e stranamente sveglio e ti propongo una dimostrazione:

Sia $E$ l'insieme di definizione di $f$ ($E$ basterebbe essere misurabile) misurabile su $E$.
Supponiamo $f$ positiva.
Fissiamo un $epsilon>0$.
Suddividiamo l'insisme $E$ in sottoinsimi definito come segue:

$E_0={x\in E|0
Denotiamo con $S(f,E)$ il sottografico della funzione $f$.

Il quadratino che tu dici di lunghezza piccola lo costruisci così: (s fai un disegnino capisci subito) te sai che $Gamma(f,E_j)\sub S((j+1)epsilon,E_j)-S(jepsilon,E_j)$, se $j>=1$.

Allora $|Gamma()f,E|_e<=sum_{j=1}^oo|Gamma(f,E_j)|_e<=|S(epsilon,E_0)|+sum_{j=1}^{+oo} |S((j+1)epsilon,E_j)-S(jepsilon,E_j)|$.

Ora sai che $|S(k,E)|=k*|E|$. Usando questo fatto puoi maggiorare tutto con $<=epsilon|E_0|+sum_{j=1}^{+oo} (j+1)epsilon|E_j|-jepsilon|E_j|<=epsilon|E|$.

Essendo $E$ limitato la sua misurai è un numero fissato. Per l'albitrarietà di $epsilon$ segue la tesi.


Oss:
Se $E$ è generico e non limitato, puoi dimostrare che vale questo teorema usando ipercubi di lato crescente e ognuno di essi lo intersechi con $E$. Così su ogni intersezioni applichi questo risultato che va bene per ogni $E$ limitato e poi passi all'unione.

Oss: se $f$ è a segno qualunque, basta notare che $f=f^+\-f^-$ a questo punto $Gamma(f,E)=Gamma(f^+,E)cupGamma(f^-,E)$ che è l'unione di due insismi di misura zero.



Ps: ho appena notato che dissonance ti ha già risposto, essendo che ho già scritto la dimostrazione la posto ugualmente, tanto son un filo diverse

[qwertyuio1]

"al teorema di B. Levi sulla convergenza monotona;
e al fatto che ogni funzione misurabile e positiva si ottiene come limite crescente di funzioni semplici"
Purtroppo nel corso di analisi non abbiamo visto questi teoremi. L'esercizio invece ci è stato proposto prima di vedere l'integrale di lebesgue e le funzioni misurabili, quindi per risolverlo dovrebbero essere sufficienti le nozioni di misura esterna e di misura, i teoremi sulla misura dell'unione e dell'intersezione e sulla misurabilità degli aperti e dei chiusi.
In particolare, per la def di misura esterna, sarebbe sufficiente dimostrare che il grafico di f ammette ricoprimenti lebesguiani (famiglia numerabile di intervalli (cubi) compatti di R^(n+1), la cui unione contiene il grafico di f) di misura (somma delle misure degli intervalli che compongono il ricoprimento) arbitrariamente piccola.

[qwertyuio1]

Grazie, davvero genitile! Penso di aver capito, anche se ci rigurderò domani.. Ma quindi le ipotesi di continuità di f e di compattezza del dominio non sono necessarie? (Oppure sono io che non vedo dove le hai usate nella dimostrazione perché sono troppo addormentato?)

[fu^2]

giusto! non serve la compatezza, serve la misurabilità in $RR^n$.
Anche la continuità è troppo, ti basta che $f$ sia misurabile su $E$.