Es su Relazione equivalenza

[Stefystef]

Salve...non riesco a svolgere questo esercizio. Se potete anche spiegare perchè fate determinate cose sarebbe cosa gradita =) Comunque il mio esercizio è:

Si consideri l'insieme A={2^n3^m : n,m appartiene ad No}. Si verifichi che la relazione R definita in A ponendo: 2^n3^m R 2^s3^t : n+t=m+s è d'equivalenza.


NB. con No intendo l'insieme dei numeri naturali COMPRESO lo zero.E con 2^n3^m intendo 2 elevato ad n e 3 elevato ad m.
Grazie anticipatamente!!

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Grazie mille ciampax =) ...in un altro esercizio ho un insieme C={0,1,2,3,4,5} e una relazione definita in No : aRb (a=b) o (a,b appartengono a C). Ho provato che R è d'equivalenza in No,ho confermato determinate affermazioni del tipo 42R6,7R7,22R2...ma non riesco a verificare [15]=[4], [1]=[2], [23]=[46]. Come devo fare?

grazie anticipatamente.

NB. Per [15],[4]... intendo la classe d'equivalenza =)

PS. Mica devo postarlo come un' altra domanda?? o va bene qui come risposta rivolta a ciampax?

Aggiunto 3 ore 5 minuti più tardi:

Il libro dice che è così

aRb (a=b) o (a,b appartengono a C).

Aggiunto 15 ore 3 minuti più tardi:

Boh non so il libro che intende!! Cmq grazie =)

[ciampax]

Riscrivo un po' meglio:

[math]A=\{x=2^n 3^m\ :\ n,m\in\mathbb{N}\}[/math]

(io includo lo zero nei naturali per definizione). La relazione da verificare è

[math]x,y\in A,\ x=2^n 3^m,\ y=2^s 3^t,\\ x\ \mathcal{R}\ y\ \Leftrightarrow\ n+t=m+s[/math]

1) Riflessività: dobbiamo vedere se

[math]x\ \mathcal{R}\ x[/math]

. In questo caso essendo

[math]s=n,\ t=m[/math]

si ha

[math]n+m=m+n[/math]

che è una identità. Quindi

[math]x\ \mathcal{R}\ x[/math]

.

2) Simmetria: dobbiamo vedere se

[math]x\ \mathcal{R}\ y\ \Rightarrow\ y\ \mathcal{R}\ x[/math]

. In questo caso si ha

[math]x\ \mathcal{R}\ y\ \Leftrightarrow\ n+t=m+s\ \Leftrightarrow\ s+m=t+n\ \Leftrightarrow\ y\ \mathcal{R}\ x[/math]

e quindi anche la presente relazione è verificata.

3) Transitività: se

[math]z=2^h 3^k[/math]

dobbiamo verificare che

[math]x\ \mathcal{R}\ y\ \textrm{e}\ y\ \mathcal{R}\ z\ \Rightarrow\ x\ \mathcal{R}\ z[/math]

Poiché

[math]x\ \mathcal{R}\ y\ \Leftrightarrow\ n+t=m+s[/math]

[math]y\ \mathcal{R}\ z\ \Leftrightarrow\ s+k=t+h[/math]

si ha pure che, sommando memebro a memebro le ultime due identità

[math]n+t+s+k=m+s+t+h\ \Leftrightarrow\ n+k=m+h\ \Leftrightarrow\ x\ \mathcal{R}\ z[/math]

e quindi è verificata anche l'ultima relazione.

Aggiunto 6 ore 55 minuti più tardi:

Non ho ben capito come è definita la seconda relazione.

Aggiunto 2 ore più tardi:

Mmmm... scritto proprio così? Perché non capisco se la seconda condizione per i valori sia che appartengano entrambi a C o basta che uno solo dei due soddisfi tale condizione.

Comunque, se fissi

[math]a\in\mathbb{N}[/math]

la sua classe di equivalenza dovrebbe essere la seguente:

[math][a]=\{a\}\cup C[/math]

cioè l'unione tra l'insieme che contiene solo

[math]a[/math]

e tutto l'insieme

[math]C[/math]

. In particolare, se

[math]a=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5[/math]

allora

[math][a]=C[/math]

altirmenti devi sempre unire il numero

[math]a[/math]

. Risulta allora che

[math][15]\neq [4],\qquad [1]=[2],\qquad [23]\neq[46][/math]