ES: serie di funzioni
Buonasera, avrei la seguente serie di funzioni:
$\sum_(n>=1)1/sqrtn|1/sqrtn+sin(x/sqrtn)|, x\inR$
Segnatamente vorrei togliermi dai piedi quel valore assoluto. La mia idea è che nel limite a infinito di n l'argomento del seno tenda a zero,posso quindi sviluppare per Mc.Laurin.
A questo punto l'argomendo del valore assoluto mi accorgo essere maggiore di $0$ per $x> -1$.
Ma è giusto come ragionamento? In particolare non sono sicuro del fatto che x varia nei reali, dunque potremmo considerarne un caso con x->infinito,ma a questo punto l'argomento del seno non dovrebbe essere $(oo)/(oo)$?
Edit
in realtà mi sono accorto che posso anche tenermi quel valore assoluto e studiarla così, tuttavia vorrei capire se il ragionamento dello sviluppo di taylor per determinare il segno fosse giusto (potrebbe tornare utile in altri casi) inoltre vorrei discutere della parte
Spero possiate dipanarmi queti due dubbi, l'esercizio in sé l'ho concluso correttamente ora. Ma quei due punti mi incuriosiscono.
$\sum_(n>=1)1/sqrtn|1/sqrtn+sin(x/sqrtn)|, x\inR$
Segnatamente vorrei togliermi dai piedi quel valore assoluto. La mia idea è che nel limite a infinito di n l'argomento del seno tenda a zero,posso quindi sviluppare per Mc.Laurin.
A questo punto l'argomendo del valore assoluto mi accorgo essere maggiore di $0$ per $x> -1$.
Ma è giusto come ragionamento? In particolare non sono sicuro del fatto che x varia nei reali, dunque potremmo considerarne un caso con x->infinito,ma a questo punto l'argomento del seno non dovrebbe essere $(oo)/(oo)$?
Edit
in realtà mi sono accorto che posso anche tenermi quel valore assoluto e studiarla così, tuttavia vorrei capire se il ragionamento dello sviluppo di taylor per determinare il segno fosse giusto (potrebbe tornare utile in altri casi) inoltre vorrei discutere della parte
l'argomento del seno non dovrebbe essere $(oo)/(oo)$?
Spero possiate dipanarmi queti due dubbi, l'esercizio in sé l'ho concluso correttamente ora. Ma quei due punti mi incuriosiscono.
Risposte
Io non ho capito che vuoi dire. Per la convergenza puntuale di quella serie, devi fissare $x \in \mathbb{R}$ e poi controllare se la serie di numeri reali
$ \sum_(n>=1)1/sqrtn|1/sqrtn+sin(x/sqrtn)|$
converge con i soliti criteri (di solito).
$ \sum_(n>=1)1/sqrtn|1/sqrtn+sin(x/sqrtn)|$
converge con i soliti criteri (di solito).
Ciao 
, allora la mia domanda era:
1) ma se x corre su tutto R, non capita il caso che per limite di x->infinito avrei come argomento della funzione seno [inf/inf]?
Diverso dubbio è
2) Se sviluppo con Mc. Laurin il seno presente nel valore assoluto, posso farlo perché studio il limite per n a infinito, posso dedurre il segno dell'argomento del modulo dallo sviluppo? Cioè sviluppandolo fino al secondo ordine il primo ordine si elide con $1/sqrtn$ mi rimane il secondo e mi accorgo che è positivo per x>1.
, allora la mia domanda era:1) ma se x corre su tutto R, non capita il caso che per limite di x->infinito avrei come argomento della funzione seno [inf/inf]?
Diverso dubbio è
2) Se sviluppo con Mc. Laurin il seno presente nel valore assoluto, posso farlo perché studio il limite per n a infinito, posso dedurre il segno dell'argomento del modulo dallo sviluppo? Cioè sviluppandolo fino al secondo ordine il primo ordine si elide con $1/sqrtn$ mi rimane il secondo e mi accorgo che è positivo per x>1.
La prima domanda che poni non ha senso. $x$ è un numero reale. Fissato. E come tale non è "vicino" a $+ \infty$. Non accade mai che tu abbia (qualunque cosa voglia dire) "come argomento della funzione seno [inf/inf]".
Quello che puoi dedurre con gli sviluppi è che se $n$ è sufficientemente grande allora
\[ \frac{1}{\sqrt{n}}+\sin \left ( \frac{x}{\sqrt{n}} \right )= \frac{1}{\sqrt{n}}+ \frac{x}{\sqrt{n}} + o \left ( \frac{1}{n} \right ) = \frac{x+1}{\sqrt{n}} + o \left ( \frac{1}{n} \right ) \]
Ora se \( x>-1 \) allora, per $n$ sufficientemente grande, quella successione sarà positiva. Chiaramente il valore di $n$ per cui questo accade dipende da $x$ quindi non possiamo dire in generale quando accade. Tutto ciò che puoi dire è che, una volta fissata $x \in \mathbb{R}$, la successione numerica
\[ \frac{1}{\sqrt{n}} \left [ \frac{1}{\sqrt{n}}+\sin \left ( \frac{x}{\sqrt{n}} \right ) \right ] \]
è definitivamente positiva.
Quello che puoi dedurre con gli sviluppi è che se $n$ è sufficientemente grande allora
\[ \frac{1}{\sqrt{n}}+\sin \left ( \frac{x}{\sqrt{n}} \right )= \frac{1}{\sqrt{n}}+ \frac{x}{\sqrt{n}} + o \left ( \frac{1}{n} \right ) = \frac{x+1}{\sqrt{n}} + o \left ( \frac{1}{n} \right ) \]
Ora se \( x>-1 \) allora, per $n$ sufficientemente grande, quella successione sarà positiva. Chiaramente il valore di $n$ per cui questo accade dipende da $x$ quindi non possiamo dire in generale quando accade. Tutto ciò che puoi dire è che, una volta fissata $x \in \mathbb{R}$, la successione numerica
\[ \frac{1}{\sqrt{n}} \left [ \frac{1}{\sqrt{n}}+\sin \left ( \frac{x}{\sqrt{n}} \right ) \right ] \]
è definitivamente positiva.
Grazie mille, hai chiarito proprio tutti i dubbi
Gentilissimo|
Gentilissimo|
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