Es passaggio al limite sotto il segno di integrale
Per risolvere questi esercizi io mi butto subito su Beppo Levi o sulla convergenza domina. Ci sono altri modi?
Potete darmi delle dritte per la risoluzione di questi?
Noto che le funzioni interne all'integrale sono infinitesimi rispetto alla $n$, quindi se riuscissi a usare uno dei teoremi sopra citati e a portare dentro il limi avrei che i due intreli valgono $0$?
$lim_(n->+oo)\int_{0}^{+oo}(n*e^(-n(x+1)))/(1+x^(2n))dx$
$lim_(n->+oo)\int_{0}^{+oo}(x^(1/2)*sin(nx))/(1+nx^2)$
Potete darmi delle dritte per la risoluzione di questi?
Noto che le funzioni interne all'integrale sono infinitesimi rispetto alla $n$, quindi se riuscissi a usare uno dei teoremi sopra citati e a portare dentro il limi avrei che i due intreli valgono $0$?
$lim_(n->+oo)\int_{0}^{+oo}(n*e^(-n(x+1)))/(1+x^(2n))dx$
$lim_(n->+oo)\int_{0}^{+oo}(x^(1/2)*sin(nx))/(1+nx^2)$
Risposte
la convergenza dominata è il teorema sicuramente più comodo e potente per passare sotto il segno d'integrale. Altri modi sono quelli riguardanti òla convergenza uniforme, però se ti interessano solo i limiti sicuramente la convergenza dominata è il più efficiente 
.
Per risolvere questi esercizi ti consiglio di spezzare l'integrale sempre in due (o più...), in questo modo puoi avere facile gioco, trovando una maggiorante definita a tratti sui due settori.
.Per risolvere questi esercizi ti consiglio di spezzare l'integrale sempre in due (o più...), in questo modo puoi avere facile gioco, trovando una maggiorante definita a tratti sui due settori.
"fu^2":Aggiungo: questi però funzionano solo se il dominio di integrazione è compatto. Altrimenti nisba (esempio cretino: $int_{-\infty}^\infty 1/n\ dx=+\infty\to\infty$ per $n \to infty$, ma $int_{-infty}^\infty\lim_{n\to\infty}1/n\ dx=0$).
Altri modi sono quelli riguardanti la convergenza uniforme
il fatto è che non ho esperienza.... tipo nel primo, da cosa capisco quali sono gli intervalli in cui devo dividere $[0,+oo]$?
io vedo quell'$x^(2n)$ che potrebbe suggerirmi di dividerlo in $[0,1]$ e $[1,+oo]$ però non sono sicuro. Vado pressochè a casaccio. Inoltre con cosa maggiorare? per essere di sicuro che la maggioranete abbia integrale finito su un dominio che va a $+oo$ potrei prendermi qualcosa del tipo $1/x^2$ o $e^(-x)$ ma non funzionano...
io vedo quell'$x^(2n)$ che potrebbe suggerirmi di dividerlo in $[0,1]$ e $[1,+oo]$ però non sono sicuro. Vado pressochè a casaccio. Inoltre con cosa maggiorare? per essere di sicuro che la maggioranete abbia integrale finito su un dominio che va a $+oo$ potrei prendermi qualcosa del tipo $1/x^2$ o $e^(-x)$ ma non funzionano...
provo a darti qualche dritta, sperando nella non erratezza, sul primo problema che hai citato l'accenno di soluzione.
Nota che se $x\in (0,1)$ allora $1/(1+x^{2n})<=1$. Inoltre $n*e^{-n(x+1)}\to 0$ per ogni $x\in (0,1)$ dunque è una successione convergente e quindi limitata, quindi in questo intervallo maggiori tutto con una costante che ti va bene (devi guardare che la costante di maggiorazione sia unica per tutte le $x$ nell'intervallo, personalmente ora sono andato a occhio, quindi potrei aver errato, controlla te).
Nota che ho preso l'intervallo aperto in quanto ai lati di esso non mi importa cosa succede, essendo che la maggiorante che troverò deve andare bene per quasi ogni $x\in [0,+oo)$.
Per $x>1$ non possiamo procedere allo stesso modo: dal momento che $e^{n(x+1})>1$ possiamo scrivere che $n/(e^{n(x+1)}(1+x^{2n}))<=n/(x^{2n}.
Osserva che $(n+1)/x^{2n+2}\sqrt{\frac{n+1}{n}}>1$ e questo è vero per l'intervallo in cui ti trovi, quindi la successione è monotona ed è tutta maggiorata dal primo termine che è $1/x^{2}$. Dunque la tua maggiorante è data da
$g(x)={(c" if " x\in (0,1)),(1/x^2" if " x>1):}
Prova a fare anche il secondo ora che hai avuto un'idea delle cose.
spero di non aver scritto fesserei, anche guardando l'ora
ciao
Nota che se $x\in (0,1)$ allora $1/(1+x^{2n})<=1$. Inoltre $n*e^{-n(x+1)}\to 0$ per ogni $x\in (0,1)$ dunque è una successione convergente e quindi limitata, quindi in questo intervallo maggiori tutto con una costante che ti va bene (devi guardare che la costante di maggiorazione sia unica per tutte le $x$ nell'intervallo, personalmente ora sono andato a occhio, quindi potrei aver errato, controlla te).
Nota che ho preso l'intervallo aperto in quanto ai lati di esso non mi importa cosa succede, essendo che la maggiorante che troverò deve andare bene per quasi ogni $x\in [0,+oo)$.
Per $x>1$ non possiamo procedere allo stesso modo: dal momento che $e^{n(x+1})>1$ possiamo scrivere che $n/(e^{n(x+1)}(1+x^{2n}))<=n/(x^{2n}.
Osserva che $(n+1)/x^{2n+2}
$g(x)={(c" if " x\in (0,1)),(1/x^2" if " x>1):}
Prova a fare anche il secondo ora che hai avuto un'idea delle cose.
spero di non aver scritto fesserei, anche guardando l'ora
ciao
Oltre alla via citata da fu^2, si potrebbe usare il teorema di convergenza dominata generalizzato di cui si parlò tempo fa...
non capisco alcune cose:
Ma se $xin(0,+oo)$ non vale lo stesso?
con "successione convergente" intendi una successione di funzioni che converge puntualmente a una funzione limitata?
Detto questo, il risultato dell'integrale dunque è $0$?
Per il secondo esericzio:
$|(sqrt(x)*sin(nx))/(1+nx^2)|=
Giusto?
"fu^2":
Nota che se $x\in (0,1)$ allora $1/(1+x^{2n})<=1$.
Ma se $xin(0,+oo)$ non vale lo stesso?
"fu^2":
Inoltre $n*e^{-n(x+1)}\to 0$ per ogni $x\in (0,1)$ dunque è una successione convergente e quindi limitata,
con "successione convergente" intendi una successione di funzioni che converge puntualmente a una funzione limitata?
Detto questo, il risultato dell'integrale dunque è $0$?
Per il secondo esericzio:
$|(sqrt(x)*sin(nx))/(1+nx^2)|=
Giusto?
"nato_pigro":
non capisco alcune cose:
[quote="fu^2"]
Nota che se $x\in (0,1)$ allora $1/(1+x^{2n})<=1$.
Ma se $xin(0,+oo)$ non vale lo stesso?
[/quote]
certo, ma se usi questa maggiorazione in $(0,+oo)$ poi non ti torna la maggiornate per la parte non limitata.
"fu^2":
Inoltre $n*e^{-n(x+1)}\to 0$ per ogni $x\in (0,1)$ dunque è una successione convergente e quindi limitata,
con "successione convergente" intendi una successione di funzioni che converge puntualmente a una funzione limitata?
Giusto?[/quote]
esatto, quello che intendevo è che converge puntualmente (e cioè per ogni $x$ fissato) a zero.
Devi vedere che la maggiorante che metti non dipende da $x$...
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