Es. - Insieme degli zeri di una funzione continua $Z(f)$

[Seneca1]

Sia $X$ spazio metrico ed $f : X -> RR$ continua. Dimostrare che $Z(f)$ è chiuso, laddove

$Z(f) = { x : x in X , f(x) = 0 }$ .

Svolgimento: (spoiler)

Considero $bar x in bar(Z(f))$. Posso allora costruire una successione $(x_n)_n$ a valori in $Z(f)$ convergente a $bar x$.

Ma per la continuità di $f$ : $lim_n f(x_n) = f(bar x) = 0$ (*). Quindi $bar x in Z(f)$. Ciò prova che $bar Z(f) subseteq Z(f)$, donde la tesi.

Nota: (*) $ y_n = f(x_n)$ è la successione costante $0$, la quale , per $n -> +oo$, ha limite $0$.

Ho due domande:

1) I ragionamenti che ho fatto vanno bene qualsiasi sia lo spazio metrico $X$? Sono corretti?

2) A titolo di chiarimento, se nelle ipotesi si fosse supposto anche che $Z(f)$ fosse finito, si potrebbe ragionare come di seguito?

Potrei considerare $Z(f) = {x_1} uu {x_2} uu ... uu {x_n}$ , con $x_i in Z(f)$. Un singoletto è un insieme chiuso (almeno per quanto ne so dai cenni di topologia che ho assimilato durante il corso di Analisi 1) e quindi $Z(f)$, in quanto riunione di un numero finito di insiemi chiusi, è chiuso.

[maurer]

Confesso che non ho letto con attenzione il tuo svolgimento, ma ti propongo questo che sicuramente è più corto: [tex]f[/tex] è continua. Pertanto le controimmagini di aperti sono aperti e le controimmagini di chiusi sono chiusi. Siccome [tex]\{0\}[/tex] è un chiuso di [tex]\mathbb{R}[/tex], allora [tex]Z(f) = f^{-1}(\{0\})[/tex] è un chiuso di [tex]X[/tex].

P.S. Rispondo alla domanda 2). Potresti ragionare in quel modo, ma devi usare esplicitamente il fatto che [tex]X[/tex] sia metrico. Infatti se uno spazio è metrico allora è [tex]T_4[/tex] e [tex]T_1[/tex] e quindi soddisfa [tex]T_0, T_1, T_2, T_3, T_4[/tex]. In particolare siamo interessati a [tex]T_1[/tex] in quanto una sua formulazione equivalente è proprio: ogni singoletto è chiuso.

Update: Ho letto il tuo svolgimento. Direi che torna.

[Seneca1]

Grazie maurer. Anche per aver proposto un'alternativa.