Es. - Funzione integrale

[Seneca1]

Ho la seguente funzione:

$F(x) = int_x^(2x) 1/(sqrt(t) e^t) dt$

per capire se è definita in $0$ si calcola il limite per $x -> 0$. Salta fuori $int_0^(0) 1/(sqrt(t) e^t ) dt$ che per convenzione dovrebbe porsi $= 0$. Tuttavia la funzione nel punto $0$ non è definita. Ho pensato quindi di scrivere:

$int_x^(2x) 1/(sqrt(t) e^t ) dt = int_1^(2x) 1/(sqrt(t) e^t ) dt - int_1^(x) 1/(sqrt(t) e^t ) dt$

Se i due integrali convergono, sono a cavallo. Se non succede, si presenta una forma indeterminata del tipo $[+oo - oo]$, che risolvere non saprei.

$lim_(x -> 0^+) int_1^(x) 1/(sqrt(t) e^t ) dt = - int_0^(1) 1/(sqrt(t) e^t ) dt = L in RR$ , per il teorema del confronto con la funzione $1/(sqrt(t))$ , la quale è a $int$ convergente in un intorno di $0$.

Quindi anche $lim_(x -> 0^+) int_1^(2x) 1/(sqrt(t) e^t ) dt = - int_0^(1) 1/(sqrt(t) e^t ) dt = L in RR$

ne segue che $lim_(x -> 0^+) F(x) = lim_(x -> 0^+) [ int_1^(2x) 1/(sqrt(t) e^t ) dt - int_1^(x) 1/(sqrt(t) e^t ) dt ] = - L - ( - L ) = 0

Quindi $F(0) = 0$.

E' corretto?

Grazie.

[dissonance]

Corretto. Puoi anche evitare di scrivere esplicitamente tutto il ragionamento. Un discorso tipo: "$1/(sqrt(t) e^t)$ è integrabile in un intorno di $0$, quindi $lim_{x\to 0} F(x)=0$" è sufficiente.

[Seneca1]

"dissonance":Corretto. Puoi anche evitare di scrivere esplicitamente tutto il ragionamento. Un discorso tipo: "$1/(sqrt(t) e^t)$ è integrabile in un intorno di $0$, quindi $lim_{x\to 0} F(x)=0$" è sufficiente.

Menomale... Altrimento alla fine di ogni esercizio mi servirebbe una penna nuova. Grazie!