Es. di funzione non monotona in nessun intorno di 0

[jitter1]

Leggo che la seguente funzione

$ { ( x+x^2 sin(1/x^2) : x != 0 ),( 0: x=0 ):} $ [i due punti stanno per "se " e non per "tale che"]

ha derivata
$ { (1+ 2xsin(1/x^2) -2/xcos(1/x^2) : x!=0),(1: x =0):} $
che "cambia segno infinite volte in un intorno di 0". Come si fa a verificare?

Comunque questo fatto che la funzione, di conseguenza, non sia monotona in nessun intorno di 0 è intrigante perché poco intuitivo visivamente. Immagino come una sorta di "densità" nel cambiare andamento tra due qualunque punti a sx o a dx di zero, "infinite volte".

[dissonance]

"jitter": Come si fa a verificare?

Quando \(x\) è molto piccolo, il termine \(\frac{-2}{x}\cos\left( \frac{1}{x^2}\right)\) è molto più grande in valore assoluto di tutti gli altri. Quindi chiaramente il segno della funzione lo decide lui. Nel tendere \(x\to 0\), l'argomento del coseno \(1/x^2\) attraversa infiniti segmenti di lunghezza \(2\pi\), e ogni volta che ciò accade, il coseno cambia di segno.

[jitter1]

Che piacere rivederti nel forum, Dissonance!
Sei stato chiarissimo, come sempre.