Es. del "Baby Rudin" su disuguaglianza triangolare
Salve a tutti. Per rinforzare le mie conoscenze di analisi ho iniziato in questi giorni a leggere "Principles of mathematical analisys" di W. Rudin.
Ho concluso il primo capitolo e c'è qualche esercizio che non sono riuscito a svolgere.
Le soluzioni a questi esercizi ahimè sembrano non essere in rete perciò sto postando qui invocando il vostro aiuto
Il primo esercizio che posto è il n° 16 del capitolo I. Il testo è questo:
$ k ge 3 $, $ x,y in R^k $ , |x - y| = d > 0, r > 0. Provare che:
(a) se 2r > d, esistono infiniti $ z in R^k $ t.c. |z - x| = |z - y| = r
(b) se 2r = d esiste un solo z
(c) se 2r < d, non esiste tale z.
Questo è il mio tentativo di risoluzione:
Parto dalla (c). Per la disuguaglianza triangolare |x - y| $ le $ |x - z| + |z - y| = 2r
quindi 2r $ ge $ d, perciò non può esistere z t.c. 2r < d.
La (a): per lo stesso motivo qualunque $ z in R^k $ soddisfa la disuguaglianza 2r $ ge $ d, tuttavia è necessario un maggiore stretto e inoltre |z - x| = |z - y|.
Anche la (b) non mi torna: affinché 2r = d la disuguaglianza triangolare deve essere un'uguaglianza. Io pensavo che per essere tale x dovesse essere uguale a y, ma se così fosse |x - y| = 0 che contraddice l'ipotesi del problema. La disuguaglianza triangolare è ricavata a partire da quella di Schwarz; in quale/i caso/i essa può essere scritta come un'uguaglianza?
Ringrazio in anticipo chiunque avrà la pazienza di leggere il mio post e di indirizzarmi verso la soluzione.
Luca
Ho concluso il primo capitolo e c'è qualche esercizio che non sono riuscito a svolgere.
Le soluzioni a questi esercizi ahimè sembrano non essere in rete perciò sto postando qui invocando il vostro aiuto
Il primo esercizio che posto è il n° 16 del capitolo I. Il testo è questo:
$ k ge 3 $, $ x,y in R^k $ , |x - y| = d > 0, r > 0. Provare che:
(a) se 2r > d, esistono infiniti $ z in R^k $ t.c. |z - x| = |z - y| = r
(b) se 2r = d esiste un solo z
(c) se 2r < d, non esiste tale z.
Questo è il mio tentativo di risoluzione:
Parto dalla (c). Per la disuguaglianza triangolare |x - y| $ le $ |x - z| + |z - y| = 2r
quindi 2r $ ge $ d, perciò non può esistere z t.c. 2r < d.
La (a): per lo stesso motivo qualunque $ z in R^k $ soddisfa la disuguaglianza 2r $ ge $ d, tuttavia è necessario un maggiore stretto e inoltre |z - x| = |z - y|.
Anche la (b) non mi torna: affinché 2r = d la disuguaglianza triangolare deve essere un'uguaglianza. Io pensavo che per essere tale x dovesse essere uguale a y, ma se così fosse |x - y| = 0 che contraddice l'ipotesi del problema. La disuguaglianza triangolare è ricavata a partire da quella di Schwarz; in quale/i caso/i essa può essere scritta come un'uguaglianza?
Ringrazio in anticipo chiunque avrà la pazienza di leggere il mio post e di indirizzarmi verso la soluzione.
Luca
Risposte
Vediamo un po' provo a dire poi dimmi se mi segui o meglio se ti sembra corretto.
Abbiamo $x,y in RR^k$ e $d=|x-y|$;
abbiamo poi un punto $z in RR^k$ tale che $|z-x|=r=|z-y|$.
Allora prendiamo ilcaso b) $2r=d$ e considera che $z$ sia fuori dalla retta che unisce $x,y$; in questo caso hai un triangolo isoscele e chiama $alpha$ l'ampiezza dei due angoli alla base. Risulta $0
Per il punto a) noi non possiamo stare sulla retta perchè l'unico punto che ha equidistanza è il punto medio che però porta a $2\ r=d$.
Ora non so bene come formalizzare questa parte però, con un po' di fantasia visiva, mi viene da dire che il punto $z$ deve stare nel piano che ha per normale il vettore direttore della retta (deve essere ortogonale alla retta) e passa per il punto medio di $x$ e $y$, e questi sono infiniti.
Diciamo che questa più che una vera dimostrazione è una logica.
Ora pensaci un attimo e magari aspetta il consiglio di qualche altro più esperto di me.
Abbiamo $x,y in RR^k$ e $d=|x-y|$;
abbiamo poi un punto $z in RR^k$ tale che $|z-x|=r=|z-y|$.
Allora prendiamo ilcaso b) $2r=d$ e considera che $z$ sia fuori dalla retta che unisce $x,y$; in questo caso hai un triangolo isoscele e chiama $alpha$ l'ampiezza dei due angoli alla base. Risulta $0
Per il punto a) noi non possiamo stare sulla retta perchè l'unico punto che ha equidistanza è il punto medio che però porta a $2\ r=d$.
Ora non so bene come formalizzare questa parte però, con un po' di fantasia visiva, mi viene da dire che il punto $z$ deve stare nel piano che ha per normale il vettore direttore della retta (deve essere ortogonale alla retta) e passa per il punto medio di $x$ e $y$, e questi sono infiniti.
Diciamo che questa più che una vera dimostrazione è una logica.
Ora pensaci un attimo e magari aspetta il consiglio di qualche altro più esperto di me.
Innanzitutto grazie. Mi piace la tua soluzione. Sono abituato a tentare un approccio più algebrico-analitico di solito e ad una soluzione geometrica non ci avevo proprio pensato.
Per la a) naturalmente si deve considerare tutto il piano tranne il punto nel quale la retta che congiunge x e y lo interseca onde evitare il caso 2r = d.
Domanda: mi confermi che utilizzare un approccio del genere è lecito anche per $ R^k $ con $ k > 3 $ ?
Credo di sì, ma non riesco ad avere un "appiglio" nel mondo reale che mi permetta di visualizzare $ R^4, R^5,..., R^k $ e faccio quindi un po' fatica.
Sempre lo stesso esercizio chiedeva invece come devono essere modificate le 3 affermazioni per $ R^2 $ e per $ R $.
Se non ho frainteso la tua soluzione, la b) e la c) non vengono modificate, mentre per $R^2$ la a) rimane invariata, ma gli infiniti punti risiedono sulla retta passante per il punto medio e non sul piano, mentre per $R^1$ non esiste nessun z t.c $2r > d$.
M'interessa però anche la risposta all'altra domanda che avevo già posto:
In modo da potermi anche ricavare il valore di z analiticamente.
Per la a) naturalmente si deve considerare tutto il piano tranne il punto nel quale la retta che congiunge x e y lo interseca onde evitare il caso 2r = d.
Domanda: mi confermi che utilizzare un approccio del genere è lecito anche per $ R^k $ con $ k > 3 $ ?
Credo di sì, ma non riesco ad avere un "appiglio" nel mondo reale che mi permetta di visualizzare $ R^4, R^5,..., R^k $ e faccio quindi un po' fatica.
Sempre lo stesso esercizio chiedeva invece come devono essere modificate le 3 affermazioni per $ R^2 $ e per $ R $.
Se non ho frainteso la tua soluzione, la b) e la c) non vengono modificate, mentre per $R^2$ la a) rimane invariata, ma gli infiniti punti risiedono sulla retta passante per il punto medio e non sul piano, mentre per $R^1$ non esiste nessun z t.c $2r > d$.
M'interessa però anche la risposta all'altra domanda che avevo già posto:
La disuguaglianza triangolare è ricavata a partire da quella di Schwarz; in quale/i caso/i essa può essere scritta come un'uguaglianza?
In modo da potermi anche ricavare il valore di z analiticamente.
Allora vediamo. Penso di si che funzioni anche in $RR^k$ per $k>3$. Se prendi i tre punti poi considera un sottospazio di dimensione 3, la le cose valgono, se poi valgono in quello, la distanza non cambia (non so se mi hai capito).
Ora comunque se ragioni con la norma euclidea e consideri il punto $a=(a_1,...,a_k)$ e $b=(b_1,...,b_k)$, il piano che dicevo è:
$sum_(i=1)^k (a_i-b_i)\ x_i\ -\ 1/2 sum_(i=1)^k (a_i^2-b_i^2)=0$.
Se ora consideri $c=(c_1,...,c_n)$; $||a-c||^2=sum_(i=1)^k (a_i-c_i)^2$ la stessa cosa per $||b-c||^2$.
Se le imponi uguali hai $sum_(i=1)^k{a_i^2+c_i^2-2a_ic_i}=sum_(i=1)^k{b_i^2+c_i^2-2b_ic_i}$
che puoi riscrivere come $sum_(i=1)^k (a_i-b_i)\ c_i\ -\ 1/2 sum_(i=1)^k (a_i^2-b_i^2)=0$ quindi $c$ è nel piano.
Ora comunque se ragioni con la norma euclidea e consideri il punto $a=(a_1,...,a_k)$ e $b=(b_1,...,b_k)$, il piano che dicevo è:
$sum_(i=1)^k (a_i-b_i)\ x_i\ -\ 1/2 sum_(i=1)^k (a_i^2-b_i^2)=0$.
Se ora consideri $c=(c_1,...,c_n)$; $||a-c||^2=sum_(i=1)^k (a_i-c_i)^2$ la stessa cosa per $||b-c||^2$.
Se le imponi uguali hai $sum_(i=1)^k{a_i^2+c_i^2-2a_ic_i}=sum_(i=1)^k{b_i^2+c_i^2-2b_ic_i}$
che puoi riscrivere come $sum_(i=1)^k (a_i-b_i)\ c_i\ -\ 1/2 sum_(i=1)^k (a_i^2-b_i^2)=0$ quindi $c$ è nel piano.
Ok, grazie mille. Veramente gentile.
Se poi qualcuno riesce a darmi una dritta su come capire quando la disuguaglianza di Schwarz è un'uguaglianza non mi offendo
Se poi qualcuno riesce a darmi una dritta su come capire quando la disuguaglianza di Schwarz è un'uguaglianza non mi offendo
"Deckard":
Ok, grazie mille. Veramente gentile.
Se poi qualcuno riesce a darmi una dritta su come capire quando la disuguaglianza di Schwarz è un'uguaglianza non mi offendo
La condizione di parallelismo tra due vettori di uno spazio euclideo è sufficiente e necessaria. Ti lascio verificarla.
Mi complimento per l'ottima scelta del testo, solo un appunto sulla versione italiana, essa è piena di errori, di cui la versione inglese è priva, specie nei primi due capitoli.
Immagino che tu abbia già studiato analisi da qualche altra parte, qui è stato più volte ribadito che il Rudin sia un testo difficile per chi inizia, qualche moderatore ha accennato al fatto che sia addirittura controproducente, all'inizio non ero d'accordo, ma devo ricredermi, il baby Rudin è totalmente privo di quelle motivazioni che spesso sono fondamentali per chi inizia e proviene da una visione della matematica applicata al mondo reale, alla fisica ad esempio, ma anche alla geometria. Sul Rudin non trovi neanche a pagarlo un esempio pratico dei concetti quali: derivata, continuità, e così via, inoltre l'approccio all'integrazione è diversa. Decisamente un testo ottimo, se consideri che questo è il testo usato ad Harvard, MIT, Columbia University etc etc, ma queste stesse università consigliano di affiancarlo con qualche altro testo che dedica più spazio ad argomenti che, almeno all'inizio, devono essere affrontati con dovizia di calcoli, per esempioi non trovi una tabella delle derivate, o esercizi sull'integrazione, rischi di conoscere quindi tanta teoria, ma poi non sei in grado fare un integrale di una funzione razionale per farti un esempio. Inoltre il Rudin utilizza ampiamente gli esercizi proprosti, proprio anche a livello teorico, almeno quelli dei primi tre capitoli.
"Deckard":
Ok, grazie mille. Veramente gentile.
Se poi qualcuno riesce a darmi una dritta su come capire quando la disuguaglianza di Schwarz è un'uguaglianza non mi offendo
Nella dimostrazione della C-S formi il polinomio [tex]$\lVert x-t\ y\rVert^2$[/tex] nel parametro [tex]$t$[/tex] e vedi che esso è uguale a:
[tex]$\lVert x\rVert^2 -2\langle x,y\rangle\ t+ \lVerty\rVert^2\ t^2$[/tex];
la C-S segue imponendo [tex]$\Delta \leq 0$[/tex].
Supponiamo ora che in C-S valga l'uguaglianza, ossia che [tex]$|\langle x,y\rangle|=\lVert x\rVert\ \lVert y\lVert $[/tex] e che nessuno dei due vettori sia nullo (altrimenti l'uguaglianza è banale); in tal caso, detto [tex]$c:=\text{sign}(\langle x,y\rangle) =\pm 1$[/tex]*, si ha [tex]$\langle x,y\rangle =c\lVert x\rVert\ \lVert y\rVert$[/tex], quindi:
[tex]$\lVert x-t\ y\rVert^2 =\lVert x\rVert^2 -2c\ \lVert x\rVert\ \lVert y\rVert\ t+ \lVert y\rVert^2\ t^2 =(c\ \lVert x\rVert -\lVert y\rVert\ t)^2$[/tex]
per ogni [tex]$t \in \mathbb{R}$[/tex].
Il secondo membro è però uguale a zero se [tex]$t=\tau:=c\ \frac{\lVert x\rVert}{\lVert y\rVert}$[/tex], sicché si ha:
[tex]$\lVert x-\tau\ y\rVert^2 =0 \quad \Rightarrow \quad x=\tau\ y$[/tex].
__________
* Se [tex]$\langle x,y\rangle =0$[/tex] allora i due vettori sono ortogonali; in tal caso in C-S non può esserci uguaglianza a meno che uno dei due vettori non sia nullo.
"regim":
Mi complimento per l'ottima scelta del testo, solo un appunto sulla versione italiana, essa è piena di errori, di cui la versione inglese è priva, specie nei primi due capitoli.
Non sapevo manco dell'esistenza di una versione italiana. Meglio così allora.
"regim":
Immagino che tu abbia già studiato analisi da qualche altra parte, qui è stato più volte ribadito che il Rudin sia un testo difficile per chi inizia, qualche moderatore ha accennato al fatto che sia addirittura controproducente, all'inizio non ero d'accordo, ma devo ricredermi, il baby Rudin è totalmente privo di quelle motivazioni che spesso sono fondamentali per chi inizia e proviene da una visione della matematica applicata al mondo reale, alla fisica ad esempio, ma anche alla geometria. Sul Rudin non trovi neanche a pagarlo un esempio pratico dei concetti quali: derivata, continuità, e così via, inoltre l'approccio all'integrazione è diversa. Decisamente un testo ottimo, se consideri che questo è il testo usato ad Harvard, MIT, Columbia University etc etc, ma queste stesse università consigliano di affiancarlo con qualche altro testo che dedica più spazio ad argomenti che, almeno all'inizio, devono essere affrontati con dovizia di calcoli, per esempioi non trovi una tabella delle derivate, o esercizi sull'integrazione, rischi di conoscere quindi tanta teoria, ma poi non sei in grado fare un integrale di una funzione razionale per farti un esempio. Inoltre il Rudin utilizza ampiamente gli esercizi proprosti, proprio anche a livello teorico, almeno quelli dei primi tre capitoli.
Sì mi sono accostato allo studio del Baby Rudin già conscio di ciò; e questo è stato un motivo per cui la mia scelta su un libro che tratti i fondamenti dell'analisi matematica sia ricaduta su di esso. Non sono completamente a digiuno di analisi: sto per entrare nel terzo anno di informatica e di conseguenza ho già un'infarinatura dei concetti fondamentali; di conseguenza so già calcolarmi un limite e un integrale, utilizzare gli "o-piccolo", Taylor, ecc. ecc..
Tuttavia i corsi di matematica che ho seguito mi hanno sempre lasciato l'amaro in bocca: mi hanno insegnano "come fare", ma hanno sempre lasciato dei grossi buchi sul "perché". Inoltre mi sono sempre più accorto che il mio interesse verso l'informatica si è sempre più deviato verso le branche più teorico-matematiche della stessa e che per poterle affrontare ho necessariamente bisogno di incrementare le mie competenze/conoscenze matematiche.
Inoltre volevo un libro di testo pensato per matematici, non per ingegneri: basta disegnini per costruire l'integrale di Riemann, non li voglio e non ne ho bisogno! Voglio avere invece una definizione rigorosa dello stesso. Basta inoltre spiegazioni prolisse che non aggiungono nulla alla definizione. Nella definizione è già contenuto un mondo che è anche mio compito discernere. E gli esercizi del Baby Rudin secondo me sono eccezionali su questo punto (almeno quelli dei primi due capitoli, quelli che ho letto): ti fanno veramente capire se hai capito (mi si perdoni la bruttura linguistica) cosa una definizione, un teorema vogliono "raccontarci".
La mia paura è che l'approccio di Rudin su argomenti che ignoro completamente possa però essere un ostacolo insormontabile. Finora così non è stato: ho letto il secondo capitolo e fatto una buona parte degli esercizi con qualche difficoltà, ma riuscendoci, nonostante non abbia mai sentito parlare di insiemi perfetti o compatti, ecc. ecc..
@gugo82: grazie mille!!
"Deckard":
Sì mi sono accostato allo studio del Baby Rudin già conscio di ciò; e questo è stato un motivo per cui la mia scelta su un libro che tratti i fondamenti dell'analisi matematica sia ricaduta su di esso. Non sono completamente a digiuno di analisi: sto per entrare nel terzo anno di informatica e di conseguenza ho già un'infarinatura dei concetti fondamentali; di conseguenza so già calcolarmi un limite e un integrale, utilizzare gli "o-piccolo", Taylor, ecc. ecc..
Tuttavia i corsi di matematica che ho seguito mi hanno sempre lasciato l'amaro in bocca: mi hanno insegnano "come fare", ma hanno sempre lasciato dei grossi buchi sul "perché". Inoltre mi sono sempre più accorto che il mio interesse verso l'informatica si è sempre più deviato verso le branche più teorico-matematiche della stessa e che per poterle affrontare ho necessariamente bisogno di incrementare le mie competenze/conoscenze matematiche.
Inoltre volevo un libro di testo pensato per matematici, non per ingegneri: basta disegnini per costruire l'integrale di Riemann, non li voglio e non ne ho bisogno! Voglio avere invece una definizione rigorosa dello stesso. Basta inoltre spiegazioni prolisse che non aggiungono nulla alla definizione. Nella definizione è già contenuto un mondo che è anche mio compito discernere. E gli esercizi del Baby Rudin secondo me sono eccezionali su questo punto (almeno quelli dei primi due capitoli, quelli che ho letto): ti fanno veramente capire se hai capito (mi si perdoni la bruttura linguistica) cosa una definizione, un teorema vogliono "raccontarci".
La mia paura è che l'approccio di Rudin su argomenti che ignoro completamente possa però essere un ostacolo insormontabile. Finora così non è stato: ho letto il secondo capitolo e fatto una buona parte degli esercizi con qualche difficoltà, ma riuscendoci, nonostante non abbia mai sentito parlare di insiemi perfetti o compatti, ecc. ecc..
@gugo82: grazie mille!!
Gli esercizi nel Rudin servono a farti ragionare, non sono ripetitivi. Il libro è completamente autocontenuto, non trovi nessun teorema di cui non sia data la dimostrazione, tranne uno = 1 piccolino nel 10 capitolo, ove ormai dovresti essere in grado di colmare la lacuna, le basi che ti fornisce saranno sempre sufficienti a darti le dimostrazioni COMPLETE!
Non ci sono ostacoli per il cui Rudin non ti dia l'asta di lunghezza necessaria e sufficiente per poter essere scavalcati con facilità.
Circa quanto hai detto sulle definizioni sono d'accordo. Ebbene, con il Rudin, capirai alla fine che, di matematica, ne sapevi ben poca!
Per darti una idea di quanto sia straordinario questo testo, in appena 250 pagine, escludendo cioè gli esercizi e l'11esimo capitolo che tratta l'integrazione di lebesgue, ti dà una preparazione superiore a quella che finora hai ricevuto in Informatica ad Analisi I e Analisi II messi insieme con esclusione delle eq. differenziali, e inoltre per la prima volta non rimarrai con l'amaro in bocca, sebbene di sangue ne dovrai sputare per arrivare alla fine, questo non è un testo, è un viaggio!
Saluti
[edit] Il fatto che non sai cosa siano gli insiemi compatti etc è regolare ad ingegneria, ove la matematica è impostata male, malissimo, se consideri poi che, le impostazioni iniziali sono fondamentali per il proseguo, e te ne accorgerai proseguendo nello studio del Rudin, risulta chiaro che, alla fine, gli ingegneri applichino formule e facciano passaggi matematici senza sapere perchè funzionano.
[edit] Con gli esercizi del Rudin ci scrivi un altro testo di matematica, Rudin non t'insegna a fare i calcoli questo intendevo sopra, ma t'insegna le prime tecniche di indagine, cosa molto più importante, i calcoli ovviamente sono per il Rudin banali applicazioni, ma quello che intedevo nel mio primo intervento è che, a mio avviso, sono necessari se non vuoi metterci 1 anno per leggere il Rudin.
Il Rudin diverge da subito dai testi usuali usati ad ingegneria, già dalle prime impostazioni capisci che stai studiando un'altra materia!!
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