[es] convergenza di una serie
Ciao ragazzi!
Ho un problema con lo studio di questa serie:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\sqrt{n}}[/tex]
I criteri del rapporto e della radice non hanno dato risultati, vorrei applicare il criterio del confronto ma non riesco a pensare ad una serie asintotica a quella data e nemmeno ad una minorante/maggiorante che mi sia di qualche utilità. Idee?
Grazie dell'aiuto!
Ho un problema con lo studio di questa serie:
[tex]\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\sqrt{n}}[/tex]
I criteri del rapporto e della radice non hanno dato risultati, vorrei applicare il criterio del confronto ma non riesco a pensare ad una serie asintotica a quella data e nemmeno ad una minorante/maggiorante che mi sia di qualche utilità. Idee?
Grazie dell'aiuto!
Risposte
Potresti usare il criterio dell'integrale.
Ti ringrazio per avermi fatto sentire uno stupido 
Scherzo, grazie per il suggerimento
Come ho fatto a non pensarci non lo so.
Scherzo, grazie per il suggerimento
Come ho fatto a non pensarci non lo so.
quindi hai fatto:
$\int 1/(e^sqrt(x)) dx$ integrato da $[1,+oo)$ ?
$\int 1/(e^sqrt(x)) dx$ integrato da $[1,+oo)$ ?
Ciao a tutti!
@Emar
Ad occhio e croce direi che,
applicando il criterio di condensazione ed in seguito quello del rapporto su $sum_(n=0)^(+oo)2^(n)e^(-2^(n/2))$,
potresti risparmiarti lo studio di quell'integrale improprio..
@Delirium
Sono troppo antipatico,se ribadisco che il criterio integrale mi sembra sia quasi sempre "solo" un modo per spostare un problema ad una sua generalizzazione che difficilmente fornisce semplificazioni tecniche su quello di partenza?
Saluti dal web.
@Emar
Ad occhio e croce direi che,
applicando il criterio di condensazione ed in seguito quello del rapporto su $sum_(n=0)^(+oo)2^(n)e^(-2^(n/2))$,
potresti risparmiarti lo studio di quell'integrale improprio..
@Delirium
Sono troppo antipatico,se ribadisco che il criterio integrale mi sembra sia quasi sempre "solo" un modo per spostare un problema ad una sua generalizzazione che difficilmente fornisce semplificazioni tecniche su quello di partenza?
Saluti dal web.
In questo caso l'integrale è facilmente risolubile per sostituzione quindi non occorre "studiarlo" e il criterio integrale mi sembra molto utile.
In effetti in generale hai ragione, solitamente non si fa altro che cambiare forma al problema, ma non si semplifica granchè.
PS Per dirla tutta sono a conoscenza del criterio di condensazione, l'ho trovato su vari libri, ma non so perchè il mio prof l'ha omesso nelle sue (peraltro molto dettagliate) dispense. Mah!
In effetti in generale hai ragione, solitamente non si fa altro che cambiare forma al problema, ma non si semplifica granchè.
PS Per dirla tutta sono a conoscenza del criterio di condensazione, l'ho trovato su vari libri, ma non so perchè il mio prof l'ha omesso nelle sue (peraltro molto dettagliate) dispense. Mah!
\( lim_{n \rightarrow \infty} n^2 e^{-\sqrt{n}}=0\) quindi \( e^{-\sqrt{n}}<\frac{1}{n^2}\) definitivamente, quindi la serie in oggetto converge per confronto.
"theras":
[...]
Sono troppo antipatico,se ribadisco che il criterio integrale mi sembra sia quasi sempre "solo" un modo per spostare un problema ad una sua generalizzazione che difficilmente fornisce semplificazioni tecniche su quello di partenza?
Saluti dal web.
Io mi rifacevo semplicemente all'integrale notevole \(\displaystyle \int^{+\infty}_{0} e^{\beta x} \ dx \). E' la prima cosa che mi è venuta in mente, e non mi sembra poi tanto assurda. Del resto ho scritto "potresti usare", ovverosia ho proposto una via di fuga.
Ma infatti la tua soluzione è sicuramente la più veloce, senza dover trovare altre serie per confrontare o altro. Inoltre come hai appena detto, in questo caso l'integrale era banale. Nel caso generale, a meno che ti salta all'occhio l'integrale immediato, il criterio integrale non ti aiuta molto, e questo voleva dire theras
"Delirium":
[quote="theras"][...]
Sono troppo antipatico,se ribadisco che il criterio integrale mi sembra sia quasi sempre "solo" un modo per spostare un problema ad una sua generalizzazione che difficilmente fornisce semplificazioni tecniche su quello di partenza?
Saluti dal web.
Io mi rifacevo semplicemente all'integrale notevole \(\displaystyle \int^{+\infty}_{0} e^{\beta x} \ dx \). E' la prima cosa che mi è venuta in mente, e non mi sembra poi tanto assurda. Del resto ho scritto "potresti usare", ovverosia ho proposto una via di fuga.[/quote]
mi manca la teoria dell'integrale notevole \(\displaystyle \int^{+\infty}_{0} e^{\beta x} \ dx \)
dove posso trovarla?
Non penso che ci sia una vera e propria "teoria". Queste funzioni integrande ammettono primitiva quindi non serve neanche studiarne la convergenza ma si può calcolare esplicitamente:
[tex]\int e^{\beta x} dx = {1 \over \beta} \int \beta e^{\beta x} dx = {1 \over \beta} e^{\beta x} + K[/tex]
[tex]\int e^{\beta x} dx = {1 \over \beta} \int \beta e^{\beta x} dx = {1 \over \beta} e^{\beta x} + K[/tex]
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