Errore integrale
Allora l'integrale da risolvere è questo:
$\int sin(x)/(1+sin(x)) dx$
Io che non sono allenato l'ho risolto così:
$sen(x) = 2t / (1 + t^2)$
$t = tg(x/2)$
$dx/dt = 2 / (1 + t^2)$
$\int sinx/(1+sinx) dx = [2t /(1+t^2)] / [(1 + t^2 + 2t)/(1+t^2)] * 2 / (1 + t^2) dt =$
$= \int (4t) / [(t^2 +2t + 1)(1+t^2)] dt = \int 4t / [(1+t)^2 (1+t^2)] dt = A / (1+t)^2 + B / (1+t) + (Ct +D) / (1+t^2)$
$4t = A (1+t^2) + B (1+t)(1+t^2) + (Ct + D) * (1+t)^2$
$4t = A + At^2 + B (1+t^2+t+t^3) + Ct (1+t^2+2t) + D(1+t^2+2t)$
$4t = A + A t^2 + B + Bt^2 + Bt + Bt^3 + Ct + Ct^3 + 2Ct^2 + D + Dt^2 + 2Dt$
$4t = t^3 (B+C) + t^2 (A + B + 2C + D) + t(B + C + 2D) + A+B+D$
$B + C = 0$
$A + B + 2C + D = 0$
$B + C + 2D = 4$
$A + B + D = 0$
da cui
$A = -2$
$B = 0$
$C = 0$
$D = 2$
sostituendo
$\int -2 / (1+t)^2 + 2 / (1+t^2) dt =$
$\int -2 / (1+t)^2 dt + \int 2 / (1+t^2) dt = 2 / (1+t) + 2 arctg(t) + c$
$2 / (1+t) + 2 arctg(t) + c = [2 / (1+ tg(x/2))] + 2 arctg(tg(x/2)) + c = [2 / (1+ tg(x/2))] + x + c$
Uno più giovane e più fresco d'analisi, l'ha risolto così in due secondi:
moltiplica sopra e sotto per $1-sen(x)$
$\int sin(x)(1 - sin(x))/(1 - sin(x)^2) dx= \int (sin(x) - sin(x)^2)/cos(x)^2 dx=
$\int (sin(x) - 1 + cos(x)^2)/cos(x)^2 dx=$
$\int sin(x)/cos(x)^2 - 1/cos(x)^2 + 1 dx =$
$\int sin(x)/cos(x)^2 dx - \int 1/cos(x)^2 dx + \int 1 dx = 1/cos(x) - tg(x) + x + c$
Ora siccome il secondo non mi pare sbagliato direi che è sbagliato il mio... il risultato sarebbe equivalente, se non fosse per il fatto che il mio viene maggiore di un'unità.
Il problema è che non riesco a capire dov'è l'errore.
E' più di un giorno che rifaccio i conti.
$\int sin(x)/(1+sin(x)) dx$
Io che non sono allenato l'ho risolto così:
$sen(x) = 2t / (1 + t^2)$
$t = tg(x/2)$
$dx/dt = 2 / (1 + t^2)$
$\int sinx/(1+sinx) dx = [2t /(1+t^2)] / [(1 + t^2 + 2t)/(1+t^2)] * 2 / (1 + t^2) dt =$
$= \int (4t) / [(t^2 +2t + 1)(1+t^2)] dt = \int 4t / [(1+t)^2 (1+t^2)] dt = A / (1+t)^2 + B / (1+t) + (Ct +D) / (1+t^2)$
$4t = A (1+t^2) + B (1+t)(1+t^2) + (Ct + D) * (1+t)^2$
$4t = A + At^2 + B (1+t^2+t+t^3) + Ct (1+t^2+2t) + D(1+t^2+2t)$
$4t = A + A t^2 + B + Bt^2 + Bt + Bt^3 + Ct + Ct^3 + 2Ct^2 + D + Dt^2 + 2Dt$
$4t = t^3 (B+C) + t^2 (A + B + 2C + D) + t(B + C + 2D) + A+B+D$
$B + C = 0$
$A + B + 2C + D = 0$
$B + C + 2D = 4$
$A + B + D = 0$
da cui
$A = -2$
$B = 0$
$C = 0$
$D = 2$
sostituendo
$\int -2 / (1+t)^2 + 2 / (1+t^2) dt =$
$\int -2 / (1+t)^2 dt + \int 2 / (1+t^2) dt = 2 / (1+t) + 2 arctg(t) + c$
$2 / (1+t) + 2 arctg(t) + c = [2 / (1+ tg(x/2))] + 2 arctg(tg(x/2)) + c = [2 / (1+ tg(x/2))] + x + c$
Uno più giovane e più fresco d'analisi, l'ha risolto così in due secondi:
moltiplica sopra e sotto per $1-sen(x)$
$\int sin(x)(1 - sin(x))/(1 - sin(x)^2) dx= \int (sin(x) - sin(x)^2)/cos(x)^2 dx=
$\int (sin(x) - 1 + cos(x)^2)/cos(x)^2 dx=$
$\int sin(x)/cos(x)^2 - 1/cos(x)^2 + 1 dx =$
$\int sin(x)/cos(x)^2 dx - \int 1/cos(x)^2 dx + \int 1 dx = 1/cos(x) - tg(x) + x + c$
Ora siccome il secondo non mi pare sbagliato direi che è sbagliato il mio... il risultato sarebbe equivalente, se non fosse per il fatto che il mio viene maggiore di un'unità.
Il problema è che non riesco a capire dov'è l'errore.
E' più di un giorno che rifaccio i conti.
Risposte
Sono giusti tutti e due. Basta calcolare la derivata di ciascuno dei due risultati (eventualmente usando un sistema automatico, ad esempio va bene Wolfram Alpha) e verificare che si riottiene sempre $(sin(x))/(1+sin(x))$.
Ah, io provavo a sostituire la "x" e venivano due risultati diversi.
Boh, vabbè comunque amen, ho perso tempo a quanto pare.
Boh, vabbè comunque amen, ho perso tempo a quanto pare.
Diversi si, ma che differiscono per una costante. Un esempio estremo: quanto fa
$int 0 dx$?
Io dico che vale $0$ e tu dici che vale $1$. Abbiamo ragione tutti e due.
La stessa cosa capita qua. Certe volte due funzioni che sembrano molto diverse a livello di espressione analitica in realtà sono uguali.
$int 0 dx$?
Io dico che vale $0$ e tu dici che vale $1$. Abbiamo ragione tutti e due.
La stessa cosa capita qua. Certe volte due funzioni che sembrano molto diverse a livello di espressione analitica in realtà sono uguali.
Ma quindi i due risultati per un dato valore di "x" non è detto diano lo stesso risultato?
Noto che è assolutamente normale che due primitive di una stessa funzione differiscano per una costante additiva arbitraria.
"dissonance":
Sono giusti tutti e due. Basta calcolare la derivata di ciascuno dei due risultati (eventualmente usando un sistema automatico, ad esempio va bene Wolfram Alpha) e verificare che si riottiene sempre $(sin(x))/(1+sin(x))$.
Non è per fare il rompipalle.
Ma a me non pare proprio che derivando il risultato ottenuto tramite formule parametriche si ottenga la funzione iniziale.
Anche con Wolfram.
Se lasci tutto espresso con [tex]$\tan(x/2)$[/tex] probabilmente non riesci a vedere cosa viene derivando. Usa il fatto che
[tex]$\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$[/tex]
che sono le formule di bisezione della tangente e prova a ricalcolare la derivata.
[tex]$\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$[/tex]
che sono le formule di bisezione della tangente e prova a ricalcolare la derivata.
Allora stasera non c'avevo un tubo da fare e mi sono messo dietro con le formule di bisezione, che tra l'altro non avevo mai usato in vita mia e ancora c'è sempre sto +1 che non capisco ma è giusto lo stesso???
$[2/(1+tg(x/2)] + x + c]$
dovrebbe essere uguale a
$1/cos(x) - tg(x) + x+ c$
Ecco dicevo che il primo risultato differiva del secondo di +1... ed in effetti facendo i passaggi
$(2/(1+tg(x/2)) * (1-tg(x/2)) / (1-tg(x/2)) + x + c) =$
$= 2*(1-tg(x/2)) / (1+tg^2(x/2)) + x + c =$
[tex]= 2 * \frac{1 - \frac{sen(x)}{1+cos(x)}}{1 - \frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}} + x + c = 2 \frac{1+cos(x)-sen(x)}{2cos(x)} +x + c = \frac{1}{cos(x)} + 1 - tg(x) + x + c[/tex]
Viene fuori un +1 come dicevo.
EDIT: Ok ci sono arrivato, quando derivo il +1 fa sempre 0, quindi fa parte della costante edi due risultati sono uguali.
$[2/(1+tg(x/2)] + x + c]$
dovrebbe essere uguale a
$1/cos(x) - tg(x) + x+ c$
Ecco dicevo che il primo risultato differiva del secondo di +1... ed in effetti facendo i passaggi
$(2/(1+tg(x/2)) * (1-tg(x/2)) / (1-tg(x/2)) + x + c) =$
$= 2*(1-tg(x/2)) / (1+tg^2(x/2)) + x + c =$
[tex]= 2 * \frac{1 - \frac{sen(x)}{1+cos(x)}}{1 - \frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}} + x + c = 2 \frac{1+cos(x)-sen(x)}{2cos(x)} +x + c = \frac{1}{cos(x)} + 1 - tg(x) + x + c[/tex]
Viene fuori un +1 come dicevo.
EDIT: Ok ci sono arrivato, quando derivo il +1 fa sempre 0, quindi fa parte della costante edi due risultati sono uguali.
Alleluja! 
[mod="dissonance"]@tdannibal: Questo SPAM lo vai a fare altrove.[/mod]
spam? perchè? ho postato una possibile via per risolvere un problema...
cos'ho fatto di sbagliato?
cos'ho fatto di sbagliato?
"tdannibal":
spam? perchè? ho postato una possibile via per risolvere un problema...
cos'ho fatto di sbagliato?
[mod="Fioravante Patrone"]Nulla, solo 6 messaggi in pochi minuti col solo contenuto di pubblicizzare un sito. Naturalmente ti sono stati cancellati.[/mod]
"dissonance":
Diversi si, ma che differiscono per una costante. Un esempio estremo: quanto fa
$int 0 dx$?
Io dico che vale $0$ e tu dici che vale $1$. Abbiamo ragione tutti e due.
Direi che avete torto tutti e due
Casomai, con le solite "licenze poetiche", mettamo che uno affermi:
- vale $0 + c$
e l'altro dica:
- vale $1 + c$
Così va un po' meglio
Ma così rovini tutto l'effetto suggestivo della cosa!
Eris magister in aeternum
Come mi ha scritto un utente di wiki, alla "notizia" della mia pensione. E' più forte di me, non riesco a sopportare che giovani virgulti possano leggere affermazioni sbagliate. Prenderò qualche pillola
Come mi ha scritto un utente di wiki, alla "notizia" della mia pensione. E' più forte di me, non riesco a sopportare che giovani virgulti possano leggere affermazioni sbagliate. Prenderò qualche pillola
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