Errore inferiore a $10^-2$

[gbspeedy]

come faccio a calcolare $int_(0)^(+oo) e^(-x^2) dx$ con quell'errore?

[Lory314]

Premessa: questo integrale penso sia una delle cose più belle che ho imparato dal corso di analisi. Si tratta infatti di uno dei pochi casi (penso) in cui in matematica si aumenta la dimensione del problema per risolverne uno di dimensione inferiore.

Considera il quadrato dell'integrale:
\[
\int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx^2 = \int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx \int_0^{+\infty} e^{-y^2}dy = \int_{\mathbb{R^+}^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy
\]
Passando in coordinate polari:
\[
x = r \cos(t) \\
y = r \sin(t)
\]
hai che:
\[
0 <= r < +\infty \\
0 <= t < \pi/2
\]
da cui ottieni che
\[
\int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx^2 = \int_0^{\pi/2}\int_0^{+\infty} re^{-r^2}drdt = \frac{\pi}{2}\int_0^{+\infty} re^{-r^2}dr = -\frac{\pi}{4}(e^{-r^2})|_0^{+\infty} = \frac{\pi}{4}
\]
Da questo segue che:
\[
\int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
\]

[Quinzio]

"gbspeedy":come faccio a calcolare $int_(0)^(+oo) e^(-x^2) dx$ con quell'errore?

Ok, ma spiegati meglio.
Come lo devi dare il risultato ? Come un numero decimale, lo puoi dare con una sommatoria, con una formula ricorsiva... ?
Puoi usare una formula di quadratura, una interpolazione ?

[gbspeedy]

in classe abbiamo calcolato $int_(0)^(pi/2) (1-cosx)/x dx$ usando lo sviluppo in serie di Taylor di $cosx$ e ottenendo
$int_(0)^(pi/2) (-1)^(n+1) (x^(2n-1))/((2n)!) dx$.Poi abbiamo mostrato che la serie converge uniformemente e usato il passaggio sotto il segno d'integrale.Da lì abbiamo ottenuto una serie di Leibniz e stimato il resto.

[Quinzio]

Si ma non riesci a fare la stessa cosa con $e^(-x^2)$