Errore dispense?

[freddofede]

Nell'EDO di primo ordine a variabili separabili

$y' = (1 - y^2)x$

Prendendo come condizione iniziale $y(0) = y_0 > 1$, abbiamo dopo i vari passaggi che la soluzione è

$y(x) = ((1 + y_0)e^(x^2) + y_0 - 1)/(-y_0 + 1 + (1 + y_0)e^(x^2))$

E ci dice, nelle dispense, che è definita per $x > sqrt(|log((y_0 - 1)/(y_0 + 1))|)$

Ora, secondo me c'è un errore, infatti penso che correttamente si dovrebbe dire che è definita per

$x != sqrt(|log((y_0 - 1)/(y_0 + 1))|)$ ... voi che dite, sbaglio io o il testo??

[irenze]

È che quando risolvi le equazioni differenziali ti interessa la soluzione in un insieme connesso (la massima estensione possibile di quella locale).
In questo caso la soluzione esplicita che trovi è definita per $x != sqrt(log((y_0 - 1)/(y_0 + 1)))$, ma ti interessa solo la componente connessa che contiene lo 0...

[freddofede]

Il bello è che non abbiamo mai affrontato la nozione di "insieme connesso", a parte nello studio dei grafi ad un'altro corso. Quindi non capisco cosa intendi ....

[irenze]

Connesso di $RR$ = intervallo

[freddofede]

Ah ok... ancora non sono del tutto convinto ma ci rifletterò... grazie.

[freddofede]

Appunto dicevamo: l'intervallo che contiene lo zero... quindi dovrebbe essere $x < sqrt(|log((y_0 - 1)/(y_0 + 1))|)$ ... no?

NOTA: ho corretto mettendo il valore assoluto all'argomento del log...

[freddofede]

No???

[irenze]

Penso di sì... l'insieme di definizione deve contenere il punto in cui assegni il dato iniziale.