Errore di convoluzione
Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano nel capire cosa sbaglio nello svolgimento del seguente esercizio
Devo calcolare il prodotto di convoluzione R(x) delle funzioni G(x) e I(x) conoscendone le trasfomate di Fourier $ hat(G)=(ik-2)^{-1} $ e
$ hat(I)=(ik+1)^{-1} $
Sapendo che
$hat(R)= hat(G) hat(I) $
$ R=\int_{-infty}^{infty} \frac{e^{ikx}}{2 pi (ik-2)(ik+1)} dk $
estendendo il mio spazio e considerando
$\int_{\gamma} \frac{e^{izx}}{2 pi (iz-2)(iz+1)} dz $
dove $\gamma$ è la semicirconferenza superiore se x>0 e la semicirconferenza inferiore se x<0
Ho due poli semplici in $z_1=i$ e $z_2=-2i$
ora se sfrutto il teorema dei residui e il lemma di Jordan, trovo che
$ -e^{-z}/3i \quad , x>0 $
$ -e^{2z}/3 i \quad ,x<0 $
ora suppongo di dover prendere solo la parte reale però c'è qualcosa che non mi torna
La soluzione deve essere
$ -[H(x)e^{-x}+H(-x)e^{x-x_0}]/3 $
?
Devo calcolare il prodotto di convoluzione R(x) delle funzioni G(x) e I(x) conoscendone le trasfomate di Fourier $ hat(G)=(ik-2)^{-1} $ e
$ hat(I)=(ik+1)^{-1} $
Sapendo che
$hat(R)= hat(G) hat(I) $
$ R=\int_{-infty}^{infty} \frac{e^{ikx}}{2 pi (ik-2)(ik+1)} dk $
estendendo il mio spazio e considerando
$\int_{\gamma} \frac{e^{izx}}{2 pi (iz-2)(iz+1)} dz $
dove $\gamma$ è la semicirconferenza superiore se x>0 e la semicirconferenza inferiore se x<0
Ho due poli semplici in $z_1=i$ e $z_2=-2i$
ora se sfrutto il teorema dei residui e il lemma di Jordan, trovo che
$ -e^{-z}/3i \quad , x>0 $
$ -e^{2z}/3 i \quad ,x<0 $
ora suppongo di dover prendere solo la parte reale però c'è qualcosa che non mi torna
La soluzione deve essere
$ -[H(x)e^{-x}+H(-x)e^{x-x_0}]/3 $
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