Equzione differenziale di Clairaut
Ciao ragazzi,
come si capisce dal titolo vorrei chiedere qualcosa riguardo un esercizio di Clairaut. Per facilitare la formula scrivo $y(t)=y$ e $y'(t)=y'$
$y=ty'-2(1+(y')/3)^(3/2)$
Ho differenziato ed e' venuto $y''(t-sqrt(1+(y')/(3)))=0$
La prima parte mi e' chiara: $y''=0$ cioe' $y'=c$ e sostituisco nell'equazione principale che diventa $y=ct-2(1+c/3)^(3/2)$.
L'esercizio dà come soluzione della seconda parte, un sistema: $\{(y=ct-2(1+c/3)^(3/2)) , (t-2(1+c/3)^(3/2)=0):}$ $=>$ $y=t^3-t$
Non capisco proprio da dove sia venuta fuori la seconda formula del sistema e a cosa serva perche' all'equazione finale arrivo anche ricavando y' da $t-sqrt(1+(y')/(3))$ per poi integrarla.
E la seconda domanda e' come determinare le linee integrali passanti per il punto A(1,-3). Le soluzioni sono c=-3, e c=15/4 e non riesco a ricavarne nessuna.
Edit: Ho modificato lo svolgimento perche' come noto' un utente, avevo sbagliato.
come si capisce dal titolo vorrei chiedere qualcosa riguardo un esercizio di Clairaut. Per facilitare la formula scrivo $y(t)=y$ e $y'(t)=y'$
$y=ty'-2(1+(y')/3)^(3/2)$
Ho differenziato ed e' venuto $y''(t-sqrt(1+(y')/(3)))=0$
La prima parte mi e' chiara: $y''=0$ cioe' $y'=c$ e sostituisco nell'equazione principale che diventa $y=ct-2(1+c/3)^(3/2)$.
L'esercizio dà come soluzione della seconda parte, un sistema: $\{(y=ct-2(1+c/3)^(3/2)) , (t-2(1+c/3)^(3/2)=0):}$ $=>$ $y=t^3-t$
Non capisco proprio da dove sia venuta fuori la seconda formula del sistema e a cosa serva perche' all'equazione finale arrivo anche ricavando y' da $t-sqrt(1+(y')/(3))$ per poi integrarla.
E la seconda domanda e' come determinare le linee integrali passanti per il punto A(1,-3). Le soluzioni sono c=-3, e c=15/4 e non riesco a ricavarne nessuna.
Edit: Ho modificato lo svolgimento perche' come noto' un utente, avevo sbagliato.
Risposte
L'ultima è un'equazione in \(y^\prime\): risolvendola trovi una EDO del primo ordine.
"Molko":
Ciao ragazzi,
come si capisce dal titolo vorrei chiedere qualcosa riguardo un esercizio di Clairaut. Per facilitare la formula scrivo $y(t)=y$ e $y'(t)=y'$
$y=ty'-2(1+(y')/3)^(3/2)$
Ho differenziato ed e' venuto $y''(y't-sqrt(1+(y')/(3)))=0$
Mi sembra che ci sia qualche errore in questo passaggio ...
C'era un errore nello svolgimento e l'ho corretto, comunque non mi viene.
Hai provato a calcolare l'inviluppo della famiglia $y=ct-2(1+c/3)^(3/2)$?
"gugo82":
Hai provato a calcolare l'inviluppo della famiglia $y=ct-2(1+c/3)^(3/2)$?
Ho provato dopo la tua risposta visto che non avevo mai sentito nominare il termine ma non e' andata a buon fine. Potresti darmi qualche indizio pe piacere?
Cominciamo dalla prima: essendo $y''=0$ ne segue che $y=ct+k$, con $c,k$ opportune costanti. Sostituendo nell'equazione originale si ha
$ct+k=ct-2(1+c/3)^{3/2}$ da cui $k=-2(1+c/3)^{3/2}$
e quindi le soluzioni lineari sono della forma $y=ct-2(1+c/3)^{3/2}$.
Per quanto riguarda la seconda equazione
$$t-(1+y'/3)^{1/2}=0$$
un paio di semplici passaggi algebrici ti permettono di porla nella forma
$$y'=3t^2-3$
la cui integrazione è immediata.
$ct+k=ct-2(1+c/3)^{3/2}$ da cui $k=-2(1+c/3)^{3/2}$
e quindi le soluzioni lineari sono della forma $y=ct-2(1+c/3)^{3/2}$.
Per quanto riguarda la seconda equazione
$$t-(1+y'/3)^{1/2}=0$$
un paio di semplici passaggi algebrici ti permettono di porla nella forma
$$y'=3t^2-3$
la cui integrazione è immediata.
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