Equivalenze asintotiche

[lorenzofranco24]

Salve ragazzi, su un noto sito(non so se posso citarlo) ho trovato questa equivalenza asintotica:
$ ln(1+root(3)(x)) $ ~ $ ln(root(3)(x)) $ per x tendente a più infinito
Come è stato ricavato?

[Mathita]

Dov'è l'equivalenza asintotica? Quello che hai scritto è un limite...?

[lorenzofranco24]

Appunto, qual è l'equivalenza asintotica? Dovrebbe risultare:
$ lim_(x -> +oo) ln(1+root(3)(x))/ln(root(3)(x))=1 $

[anto_zoolander]

ciao!
(quel lim all'inizio non si può vedere )

$ln(1+root(3)(x))=ln(root(3)(x)*(1+1/root(3)(x)))=ln(root(3)(x))+ln(1+1/root(3)(x))$

quindi $ln(1+root(3)(x))/ln(root(3)(x))=1+ln(1+1/root(3)(x))*1/ln(root(3)(x))$

a destra hai il prodotto di due funzioni che tendono a zero(per $x->+infty$) quindi il limite del prodotto è anch'esso $0$, da cui la tesi.

Chiaramente per aver senso tutto questo basta porsi in $(0,+infty)$

[lorenzofranco24]

Si, scusatemi ma ero in preda alla "fretta" di capire
Perfetto, tutto chiaro. Grazie mille!

[anto_zoolander]

@mathita
[ot]scusa l'intrusione, avevo iniziato a scrivere prima della tua risposta
ho l'abitudine di pensare alla risposta sulla schermata testo del forum, più che sul quaderno [/ot]

[Mathita]

@anto_zoolander [ot]Tranquillo, va bene così. Non avevo proprio capito quale fosse il dubbio dell'OP. [/ot]