Equivalenza tra due definizioni di funzione subarmonica
Ciao!
Sto cercando di dimostrare il seguente teorema
Sia $v\ :\ \Omega \to [-\infty, \infty)$ semicontinua superiormente, allora sono affermazioni equivalenti
i) Se $u$ è una funzione armonica tale che $v(z) \le u(z)$ per ogni $z \in \partial K$, $K \subset \Omega$ compatto, allora $v(z) \le u(z)$ per ogni $z \in K$.
ii) per ogni $z_ 0 \in \Omega$ tale che $\bar{B}(z_0, r) \subset \Omega$ vale $v(z_0) \le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} v(z_0 + re^{i\theta})d\theta.$
che la ii) implichi la i) mi è chiaro.
Se possibile, invece, cercavo una dimostrazione di i) allora ii) che non coinvolga integrali di poisson ma più terra terra per intenderci
un grazie in anticipo per chi risponderà
Sto cercando di dimostrare il seguente teorema
Sia $v\ :\ \Omega \to [-\infty, \infty)$ semicontinua superiormente, allora sono affermazioni equivalenti
i) Se $u$ è una funzione armonica tale che $v(z) \le u(z)$ per ogni $z \in \partial K$, $K \subset \Omega$ compatto, allora $v(z) \le u(z)$ per ogni $z \in K$.
ii) per ogni $z_ 0 \in \Omega$ tale che $\bar{B}(z_0, r) \subset \Omega$ vale $v(z_0) \le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} v(z_0 + re^{i\theta})d\theta.$
che la ii) implichi la i) mi è chiaro.
Se possibile, invece, cercavo una dimostrazione di i) allora ii) che non coinvolga integrali di poisson ma più terra terra per intenderci
un grazie in anticipo per chi risponderà
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