Equivalenza tra due curve e lunghezza

[Frostman]

Buonasera, avrei bisogno di una mano con questo esercizio

Un cane è legato ad un guinzaglio lungo 1, tenuto dal suo patrone P(t). Al tempo t=0, il padrone P(0) è nell’origine, mentre il cane è in (0,1), dove sta dissotterrando un osso nascosto. Il padrone P(t) inizia a muoversi lungo l’asse x a velocità 1, e tira il cane per il guinzaglio. Il cane cerca di tornare a (0,1), per dissotterrare l’osso, ed in ogni momento tiene il guinzaglio teso in modo da indicare la direzione passante per (0,1). La traiettoria del cane si dice trattrice. Mostrare che le seguenti due parametrizzazioni sono entrambe trattrici:

$ P(θ)=(cos(θ)+ln(tan(θ/2)),sin(θ)),\ \ θ∈[π2,π) $
$ P(t)=(t−tanh(t),1cosh(t)),\ \ t≥0$

Pensavo di procedere nel seguente, modo:

[*:m3c3c6z6]Trovare un diffeomorfismo tra le due curve.[/*:m:m3c3c6z6]
[*:m3c3c6z6]Dimostrare attraverso la formula per il calcolo della lunghezza l'equivalenza delle due curve, che deve essere sempre esser pari a 1.[/*:m:m3c3c6z6][/list:u:m3c3c6z6]

Il secondo punto non dovrebbe esser particolarmente difficile, il mio problema sta nel trovare un diffeomorfismo, inizialmente ho pensato alla funzione $ tan $, visto che gli intervalli sono pressoché simili rispetto a quella funzione.

[gugo82]

Detto in maniera seria (i cani lasciamoli ai bimbi del liceo), la trattrice è caratterizzata dall'avere, punto per punto, di uguale lunghezza i segmenti di tangente staccati con l'asse $x$.
Ora devi fare i conti.