Equivalenza fra norme
Salve, devo risolvere questo esercizio
"Sia $ x in R^n $ e siano $ ||x||_1=|x_1|+|x_2|+...+|x_n| $ , $ ||x||_p=(sum_(i = 1)^n (x_i)^p )^(1/p) $ due norme su $ R^n $ . Dimostrare che
1) le due norme sono equivalenti
2) $ lim_(p -> oo) ||x||_p=||x||_oo $ , dove $ ||x||_oo=max{|x_i|} $ per $ i=1,...,n $"
Se le due norme sono equivalenti $ C_1||x||_p<=||x||_1 <=C_2 ||x||_p $ . Non sono sicuro se vadano considerati casi diversi per i possibili valori di p: ipotizzando che p>1 ho scritto per la disuguaglianza di sinistra $ ||x||_p<=[(x_1+x_2+...+x_n)^p]^(1/p)=x_1+x_2+...+x_n<=||x||_1 $; in tal caso dunque il primo coefficiente sarebbe 1, ma non riesco comunque a venire a capo di quella destra.
Per il punto 2) ho provato con $ lim_(p -> oo) [(max{|x_i|})^p*(1+((sum_(i = \1)^(n-1)x_i)/(max{|x_i|}))^p)]^(1/p)=max{|x_i|}*sqrt1=||x||_oo $ (la sommatoria fratto il massimo dovrebbe ridursi alla somma di n-1 termini tutti minori di 1 e tutti elevati a una grandezza tendente a infinito) ma non ho comunque certezza che sia la strada giusta.
Illuminatemi
"Sia $ x in R^n $ e siano $ ||x||_1=|x_1|+|x_2|+...+|x_n| $ , $ ||x||_p=(sum_(i = 1)^n (x_i)^p )^(1/p) $ due norme su $ R^n $ . Dimostrare che
1) le due norme sono equivalenti
2) $ lim_(p -> oo) ||x||_p=||x||_oo $ , dove $ ||x||_oo=max{|x_i|} $ per $ i=1,...,n $"
Se le due norme sono equivalenti $ C_1||x||_p<=||x||_1 <=C_2 ||x||_p $ . Non sono sicuro se vadano considerati casi diversi per i possibili valori di p: ipotizzando che p>1 ho scritto per la disuguaglianza di sinistra $ ||x||_p<=[(x_1+x_2+...+x_n)^p]^(1/p)=x_1+x_2+...+x_n<=||x||_1 $; in tal caso dunque il primo coefficiente sarebbe 1, ma non riesco comunque a venire a capo di quella destra.
Per il punto 2) ho provato con $ lim_(p -> oo) [(max{|x_i|})^p*(1+((sum_(i = \1)^(n-1)x_i)/(max{|x_i|}))^p)]^(1/p)=max{|x_i|}*sqrt1=||x||_oo $ (la sommatoria fratto il massimo dovrebbe ridursi alla somma di n-1 termini tutti minori di 1 e tutti elevati a una grandezza tendente a infinito) ma non ho comunque certezza che sia la strada giusta.
Illuminatemi
Risposte
Si, \(p>1\). Ricordati che le componenti di \(x\in \mathbb{R}^n\) vanno prese in valore assoluto:
\[
\| x \|_p=\left( \lvert x_1\rvert^p + \dots + \lvert x_n\rvert^p \right)^{\frac{1}{p}},\]
e lo stesso vale per \(\|x\|_1\). Detto questo, non ho capito come fai a dire che \(\|x\|_p\le (\lvert x_1\rvert +\dots+\lvert x_n\rvert)^{p\cdot \frac{1}{p}}.\)
\[
\| x \|_p=\left( \lvert x_1\rvert^p + \dots + \lvert x_n\rvert^p \right)^{\frac{1}{p}},\]
e lo stesso vale per \(\|x\|_1\). Detto questo, non ho capito come fai a dire che \(\|x\|_p\le (\lvert x_1\rvert +\dots+\lvert x_n\rvert)^{p\cdot \frac{1}{p}}.\)
Volevo scrivere $ ||x||_p=(|x_1|^p+...+|x_n|^p)^(1/p)<=((|x_1|+...+|x_n|)^p)^(1/p)=||x||_1 $ ma ho capito ora che è evidentemente sbagliato in quanto presupporrebbe delle condizioni da imporre sulle componenti $ x_i $ . Sai darmi qualche idea sul come procedere?
Non ho detto che è sbagliato, solo che dovresti spiegare perché lo fai. Se vuoi saperlo, la disuguaglianza \(\|x\|_p\le\|x\|_1\) è vera. Non si capisce però come la dimostri.
Ho scritto il procedimento che ho seguito, ragionando sul fatto che se l'esponente è maggiore di 1 elevando a potenza la somma degli elementi si ottiene un risultato maggiore della somma dei singoli elementi elevati a potenza. Però credo che ciò valga solo in determinate condizioni e quindi non è la strada da seguire.
E invece no, va benissimo (per inciso, la proprietà che dici vale con numeri positivi, altro motivo per cui serve il valore assoluto). Certo bisognerebbe dimostrarlo. Come dimostreresti che se \(p>1\) allora
\[
\left( a+b\right)^p \ge a^p+b^p,\qquad \forall a, b\ge 0 \ ?\]
\[
\left( a+b\right)^p \ge a^p+b^p,\qquad \forall a, b\ge 0 \ ?\]
Per dimostrare il punto 2, è sufficiente dimostrare che le funzioni $|| x|| _ p$ sono decrecsenti in $p,$ cioè che la funzione
\begin{align*}
F(p):=\|{\bf x} \|_p=\left[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right]^{1/p}
\end{align*}
risulti decrescente in $p.$ Per fare questo, scriviamo anzitutto in forma esponenziale $F(p):$
\begin{align*}
F(p):=\left[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right]^{1/p}=\exp\left[\frac{1}{p}\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)\right],
\end{align*}
da cui calcolando la derivata prima otteniamo:
\begin{align*}
F'(p):=& \exp\left[\frac{1}{p}\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)\right]\cdot\left(-\frac{\displaystyle\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)}{p^2}+ \frac{\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|\right)}{\displaystyle p \sum_{i=1}^n |x_i|^p}\right)\\
=&\frac{\displaystyle\exp\left[\frac{1}{p}\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)\right]}{\displaystyle p^2 \sum_{i=1}^n |x_i|^p}\cdot\left[- \sum_{i=1}^n |x_i|^p \ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) + p \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|\right) \right]\\
=&\frac{\displaystyle\exp\left[\frac{1}{p}\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)\right]}{\displaystyle p^2 \sum_{i=1}^n |x_i|^p}\cdot\left[- \sum_{i=1}^n |x_i|^p \ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) + \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|^p\right) \right];
\end{align*}
per studiare il segno di $F'(P)$ si può osservare che è sufficiente considerare la quantità entro parentesi quadre, in quanto l'esponenziale è senz'altro positivo; dovendo verificare la decrescenza, dovrà essere verificata la seguente disuguaglianza:
\begin{align*}
- \sum_{i=1}^n |x_i|^p \ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) + \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|^p\right)\le 0\\
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|^p \le\sum_{i=1}^n |x_i|^p \ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right),
\end{align*}
e come si può facilmente verificare tale dusuguagliaza è sempre vera, in quanto
\begin{align*}
\ln |x_i|^p\le\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) \qquad\Leftrightarrow\qquad |x_i|^p\le \sum_{i=1}^n |x_i|^p \to\mbox{banalmente vera;}
\end{align*}
ciò dimostra che la funzione $ F(P)$ è decrescente in $p.$ A questo punto, essendo monotona, la funzione $ F(P)$ ammetterà limite, e si dimostra che :
\begin{align*}
\exists\,\,\,\lim_{p\to+\infty}||{\bf x} ||_p=||{\bf x} ||_{\infty};
\end{align*}
infatti, dalla definizione di norma si ha una maggiorazione di questo tipo:
\begin{align*}
||{\bf x} ||_{p}=\left[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right]^{1/p}\le\left[ \sum_{i=1}^n ||{\bf x} ||^p_{\infty} \right]^{1/p}=\left[n\cdot||{\bf x} ||^p_{\infty} \right]^{1/p}= n^{1/p} ||{\bf x} || _{\infty}
\end{align*}
dove al posto della somma delle $|x_i|^p$ abbiamo maggiorato con la somma delle più grandi componenti, cioè con la norma infinito; analogamente possiamo minorare in questo modo: anzichè considerare le $|x_i|^p$ utilizziamo solo una componente, la più grande, ma una sola, cioè $|| x|| _{\infty}^p:$
\begin{align*}
\|{\bf x} \| _{\infty} =\left[ \|{\bf x} \|^p_{\infty} \right]^{1/p}\le \left[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right]^{1/p} ;
\end{align*}
dunque in definitva abbiamo ottenuto che:
\begin{align}
||{\bf x} || _{\infty} \le ||{\bf x} ||_{p}\le \sqrt
\begin{align*}
F(p):=\|{\bf x} \|_p=\left[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right]^{1/p}
\end{align*}
risulti decrescente in $p.$ Per fare questo, scriviamo anzitutto in forma esponenziale $F(p):$
\begin{align*}
F(p):=\left[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right]^{1/p}=\exp\left[\frac{1}{p}\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)\right],
\end{align*}
da cui calcolando la derivata prima otteniamo:
\begin{align*}
F'(p):=& \exp\left[\frac{1}{p}\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)\right]\cdot\left(-\frac{\displaystyle\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)}{p^2}+ \frac{\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|\right)}{\displaystyle p \sum_{i=1}^n |x_i|^p}\right)\\
=&\frac{\displaystyle\exp\left[\frac{1}{p}\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)\right]}{\displaystyle p^2 \sum_{i=1}^n |x_i|^p}\cdot\left[- \sum_{i=1}^n |x_i|^p \ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) + p \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|\right) \right]\\
=&\frac{\displaystyle\exp\left[\frac{1}{p}\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)\right]}{\displaystyle p^2 \sum_{i=1}^n |x_i|^p}\cdot\left[- \sum_{i=1}^n |x_i|^p \ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) + \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|^p\right) \right];
\end{align*}
per studiare il segno di $F'(P)$ si può osservare che è sufficiente considerare la quantità entro parentesi quadre, in quanto l'esponenziale è senz'altro positivo; dovendo verificare la decrescenza, dovrà essere verificata la seguente disuguaglianza:
\begin{align*}
- \sum_{i=1}^n |x_i|^p \ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) + \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|^p\right)\le 0\\
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\sum_{i=1}^n |x_i|^p\ln |x_i|^p \le\sum_{i=1}^n |x_i|^p \ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right),
\end{align*}
e come si può facilmente verificare tale dusuguagliaza è sempre vera, in quanto
\begin{align*}
\ln |x_i|^p\le\ln\left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\right) \qquad\Leftrightarrow\qquad |x_i|^p\le \sum_{i=1}^n |x_i|^p \to\mbox{banalmente vera;}
\end{align*}
ciò dimostra che la funzione $ F(P)$ è decrescente in $p.$ A questo punto, essendo monotona, la funzione $ F(P)$ ammetterà limite, e si dimostra che :
\begin{align*}
\exists\,\,\,\lim_{p\to+\infty}||{\bf x} ||_p=||{\bf x} ||_{\infty};
\end{align*}
infatti, dalla definizione di norma si ha una maggiorazione di questo tipo:
\begin{align*}
||{\bf x} ||_{p}=\left[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right]^{1/p}\le\left[ \sum_{i=1}^n ||{\bf x} ||^p_{\infty} \right]^{1/p}=\left[n\cdot||{\bf x} ||^p_{\infty} \right]^{1/p}= n^{1/p} ||{\bf x} || _{\infty}
\end{align*}
dove al posto della somma delle $|x_i|^p$ abbiamo maggiorato con la somma delle più grandi componenti, cioè con la norma infinito; analogamente possiamo minorare in questo modo: anzichè considerare le $|x_i|^p$ utilizziamo solo una componente, la più grande, ma una sola, cioè $|| x|| _{\infty}^p:$
\begin{align*}
\|{\bf x} \| _{\infty} =\left[ \|{\bf x} \|^p_{\infty} \right]^{1/p}\le \left[ \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right]^{1/p} ;
\end{align*}
dunque in definitva abbiamo ottenuto che:
\begin{align}
||{\bf x} || _{\infty} \le ||{\bf x} ||_{p}\le \sqrt
{n}\cdot ||{\bf x} || _{\infty} \tag 1,
\end{align}
cioè la norma $p$ è sempre compresa tra la norma infinito e la norma infinito per una costante. A questo punto si può osservare che, essendo
\begin{align*}
||{\bf x} || _{\infty} \le ||{\bf x} ||_{p}
\end{align*}
moltiplicando ambo i membri per $ K= n^{1/p} $ si ottiene:
\begin{align*}
K\cdot \|{\bf x}\| _{\infty} \le \|{\bf x} \|_{p} \cdot K,
\end{align*}
e quindi la $(1)$ diventa
\begin{align*}
\|{\bf x} \| _{\infty} \le\|{\bf x} \|_{p}\le K\cdot \|{\bf x} \| _{\infty} \le\|{\bf x}\|_{p} \cdot K;
\end{align*}
questo sostanzialmente sta ad indicare che in $\RR^n$ tutte le norme sono equivalenti.
@Noisemaker: MMMMMhhhh non mi convinci. Tu hai dimostrato solo una disuguaglianza, la \(\|x\|_1\le \|x\|_{p}\), peraltro tirando in ballo la norma infinito che l'OP non ha citato. Poi tiri fuori dal cilindro la costante \(n^{1/p}\). Secondo me, fermati un attimo, vediamo se l'OP riesce a portare a termine la sua dimostrazione. Del resto, ci è praticamente arrivato.
@Dissonance : mi fermo, ma non ho dimostrato solo $p=1$ ma $\forall p$ ...
Si, ma non hai dimostrato che \(\|x\|_p\le C\|x\|_1\), mi pare. Tutto poggia su questo:
\[
\lim_{p\to \infty} \|x\|_p=\|x\|_\infty,
\]
che tu prendi per buono. Io penso sia meglio fare le cose in modo diretto. Vediamo se l'OP riesce a concludere per la strada che ha preso, dopodiché spiegherò meglio cosa ho in mente.
\[
\lim_{p\to \infty} \|x\|_p=\|x\|_\infty,
\]
che tu prendi per buono. Io penso sia meglio fare le cose in modo diretto. Vediamo se l'OP riesce a concludere per la strada che ha preso, dopodiché spiegherò meglio cosa ho in mente.
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