Equivalenza di norme

[poncelet]

Un esercizio mi chiede di dimostrare che nello spazio $RR^N$ tutte le norme sono equivalenti. Come suggerimento dice di dimostrare che una qualsiasi norma è equivalente alla norma euclidea. La mia domanda è: quando due norme in generale sono equivalenti?

[gugo82]

Questa è cosa letta più volte sul forum; cerca un po'.

La definizione di norme equivalenti è la seguente: due norme [tex]$\lVert \cdot \rVert_1$[/tex] e [tex]$\lVert \cdot \rVert_2$[/tex] si dicono equivalenti se e solo se esistono due costanti positive [tex]$\alpha, \beta$[/tex] tali che [tex]$\alpha\ \lVert x \rVert_2\leq \lVert x \rVert_1\leq \beta\ \lVert x \rVert_2$[/tex] per ogni elemento [tex]$x$[/tex] dello spazio ambiente; in termini geometrici, due norma sono equivalenti se la palla unitaria dell'una contiene una palla dell'altra e viceversa.

[poncelet]

Grazie Gugo. Tornando al mio esercizio in cui devo dimostrare che in $RR^N$ tutte le norme sono equivalenti, la professoressa suggerisce di procedere nel modo seguente:

(1) Osservare che è sufficiente dimostrare che una qualsiasi norma è equivalente alla norma euclidea.

(2) Indicata con $||.||$ una generica norma e con $\rho$ la norma euclidea, provare che esiste una costante $M>0$ tale che $||x||<=M\rho(x)$ $\forall x \in RR^N$.

(3) Dimostrare che la funzione $f(x)=||x||$ ammette minimo $m>0$ sull'insieme $S={x \in RR^N: \rho(x)=1}$ e quindi che $||x||>=m$ $\forall x \in S$.

(4) Usare il risultato del punto (3) per provare che $m\rho(x)<=||x||$ $\forall x \in RR^N$ e concludere.

Allora per il punto (1) ho dimostrato che l'equivalenza di norme è una relazione di equivalenza in senso algebrico ed in particolare vale la proprietà transitiva. Siano quindi $||.||_a$ e $||.||_b$ due norme generiche abbiamo che $||.||_a \sim \rho$ e $\rho \sim ||.||_b => ||.||_a \sim ||.||_b$.
Mi blocco però sul punto (2) in quanto non sono in grado di dimostare l'esistenza e di esporre una costante che soddisfa quanto indicato dal suggerimento. Qualcuno mi puà aiutare? Grazie.

[dissonance]

Per la 2), prova a seguire questa traccia. Tu sai che ogni $x \in RR^n$ si può scrivere $x=sum_i x_i e_i$, dove $e_i=(0...0,1,0...0)$. E quindi $||x|| \le \sum_i |x_i| ||e_i||$. Se chiami $C$ il massimo tra $||e_1||, ||e_2||, ||e_3||...$, hai ottenuto una disuguaglianza

$||x|| \le C \sum_i |x_i|$

che somiglia parecchio a quella che cerchi... Vedi un po' se riesci a procurare qualche disuguaglianza che metta in relazione $sum_i |x_i|$ e $sqrt{sum_i |x_i|^2}$.

[poncelet]

Non vorrei dire una cavolata, ma a me risulta che $sqrt(sum_i|x_i|^2)<=sum_i|x_i|$ e da questa disuguaglianza non so come far saltare fuori quella che mi serve.

[dissonance]

Non dici una cavolata. Ma mica devi per forza trovare che $sum_i |x_i| le sqrt{sum_i |x_i|^2}$ (che difatti è falso in generale). Va bene anche una disuguaglianza a meno di costanti, una roba tipo

$sum_i |x_i| le K sqrt{sum_i |x_i|^2}$

per un $K>0$. Questa invece è vera, a patto di prendere $K$ abbastanza grande... Quanto grande? Dipende da $n$, come ci possiamo immaginare. Puoi avere informazioni più precise applicando opportunamente una delle più classiche disuguaglianze dell'analisi.

[dissonance]

Vorrei dare un suggerimento implicito segnalando anche un libro che ho iniziato a leggere (ma con molta calma... ) e che al momento mi piace parecchio:

http://www-stat.wharton.upenn.edu/~stee ... index.html

[poncelet]

Deduco dalla tua segnalazione che mi vuoi suggerire di utilizzare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Io la conosco così:

$||<=||x||*||y||$

Detto questo non so come applicarla opportunamente al mio problema.

P.S. quel libro sembra interessante

[dissonance]

Una delle tantissime versioni della disuguaglianza di C.-S. è questa:

$sum_i |x_i y_i| \le \sqrt{sum_i |x_i|^2} \sqrt{ sum_i |y_i|^2}$.

P.S.: Certe volte, a scrivere le cose troppo in astratto si perde di vista il loro significato concreto. Nello specifico, questa disuguaglianza nella forma $|<>|le ||x|| ||y||$ è molto compatta da scrivere e anche da dimostrare, ma non si capisce come fare ad utilizzarla. Abbiamo quindi uno strumento potentissimo ma non siamo capaci di usarlo: una cosa che mi è capitata un sacco di volte. Questi sono i limiti dell'astrazione eccessiva.
D'altro canto, anche presentare le cose a livello terra-terra crea grossi problemi. Bisognerebbe trovare un equilibrio tra questi due estremi.

[poncelet]

Quindi se considero, per il mio esercizio, $y_i=1$ $i=1,2,...N$ e applico la disuguaglianza nella forma che mi hai suggerito ottengo:

$sum_i|x_i|<=sqrt(N)sqrt(sum_i|x_i|^2)$

Mettendo insieme il tutto, otteniamo:

$||x||<=Csum_i|x_i|<=Csqrt(N)sqrt(sum_i|x_i|^2)$

Ponendo $M=Csqrt(N)$ ottengo la tesi del punto (2).

Corretto?

[dissonance]

Esatto!

[poncelet]

Bene. Ti ringrazio veramente molto. Domani cercherò di finire l'esercizio seguendo i punti suggeriti dalla prof.ssa. Nel caso avessi difficoltà, sarò di nuovo qui a chiedere aiuto.

[gugo82]

Nota a margine.

Si poteva usare anche la concavità della funzione radice: infatti:

[tex]$\sum_{n=1}^N |x_n|=\sum_{n=1}^N \sqrt{|x_n|^2}$[/tex]
[tex]$=N \sum_{n=1}^N \tfrac{1}{N} \sqrt{|x_n|^2}$[/tex]
[tex]$\leq N \sqrt{\sum_{n=1}^N \tfrac{1}{N}|x_n|^2}$[/tex] (per concavità)
[tex]$=\sqrt{N} \sqrt{\sum_{n=1}^N |x_n|^2}$[/tex].

[poncelet]

Allora, comincio ad abbozzare il punto (3). Vorrei dimostrare che $f(x)=||x||$ è continua nell'insieme $S={x \in RR^N : \rho(x)=1}$ in modo da poter applicare il Th. di Weierstrass che dice che una funzione continua su un insieme compatto ammette massimo e minimo. Siccome l'insieme $S$ così come è stato definito mi risulterebbe compatto, avrei la tesi. Per dimostrare la continuità della generica norma $||x||$ utilizzerei la definizione metrica di continuità facendo vedere che $\forall \epsilon >0$ $EE \delta >0$ tale che $d_1(x,x_0)<\delta => d_2(f(x),f(x_0))< \epsilon$ dove $d_1$ è la distanza indotta dalla metrica euclidea e $d_2$ è quella indotta dalla metrica $||.||$. Potrebbe essere giusto come procedimento?

[gugo82]

Occhio...

Devi far vedere che [tex]$f(x):=\lVert x\rVert$[/tex] è continua da [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] (dotato della topologia indotta da [tex]$\rho (x)$[/tex]!) in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (dotato della topologia usuale), ossia che:

[tex]$\forall x_0\in \mathbb{R}^N, \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \rho(x-x_0)<\delta\ \Rightarrow\ |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$[/tex].

Ciò è molto facile, per le proprietà della norma [tex]$f(x)$[/tex] e per il punto 2; anzi riesce che [tex]$f(x)$[/tex] è addirittura lipschitziana rispetto a [tex]$\rho(x)$[/tex].

Infine la 4 è immediata: la parola d'ordine è omogeneità.

[poncelet]

Allora, siccome sto lavorando in $S={x \in RR^N : rho(x)=1}$ abbiamo che $f(x)

Cita

Segnala

[gugo82]

La scelta di [tex]$\delta$[/tex] è quella buona (anche se il [tex]$C$[/tex] è di troppo), ma non riesco a capire da dove la tiri fuori...

[poncelet]

Ho ragionato così: siccome per il punto (2) $f(x)

Cita

Segnala

[gugo82]

Insomma, se non erro, hai usato la disuguaglianza triangolare inversa [tex]$\big| \lVert x\rVert -\lVert x_0\rVert\big| \leq \lVert x-x_0\rVert$[/tex] e poi il passo 2, proprio come me.

[poncelet]

Esattamente. Quindi adesso ho dimostrato che $f(x)$ è continua sul compatto $S$ e quindi possiede minimo $m>0$ tale che $f(x)=||x||>=m$ $\forall x \in S$. Per dimostrare che vale in tutto $RR^N$ e concludere la dimostrazione mi suggerisci di utilizzare il concetto di funzione omogenea. Se non ricordo male una funzione $f:RR^N supe B -> RR$ si dice omogenea se $\forall x \in B$ $\forall \alpha >0$ risulta $f(\alphax)=\alpha^muf(x)$. Vediamo come applicarlo al nostro caso. Ogni norma in $RR^N$ è omogenea poiché $||\alphax||=\alpha||x||$. Sia un vettore qualunque $x \in RR^N$, abbiamo che esso può essere espresso come $\alphay$ dove $y$ è un vettore di $S$. Di conseguenza $||x||=||\alphay||=\alpha||y||$ e quindi siccome $||y||<=m\rho(y)$ abbiamo che $||x||>=\alpham\rho(y)=\alpham1/\alpha\rho(x)=m\rho(x)$.
E' corretto?

[gugo82]

Lo spirito è quello.

Prendi [tex]$x\in \mathbb{R}^N\setminus \{ o\}$[/tex] e chiama [tex]$u:=\tfrac{1}{\rho (x)}\ x$[/tex]; evidentemente [tex]$u\in S$[/tex] e perciò [tex]$\lVert u\rVert \leq m$[/tex]; ma allora, dato che [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex] è positivamente omogenea (in quanto norma), si ha [tex]$\tfrac{1}{\rho(x)}\ \lVert x\rVert \leq m$[/tex], che è la tesi per [tex]$x\neq o$[/tex]. Se invece [tex]$x=o$[/tex], la disuguaglianza tra le norme vale per ogni costante a secondo membro, ed in particolare per [tex]$m$[/tex].